[科普中国]-麦克斯韦速率分布律

定义

对于大量气体分子整体来看，它的速率分布遵从一定的统计规律。如果不限制气体分子速度的方向，而只研究大量气体分子处于平衡状态下，气体分子的速率在某一 的速率区间 内的概率多大。可得出麦克斯韦速率分布律。

在一定温度 ，处于平衡状态的质量为 的一定种类的气体。分子质量为 ，分子总数为 。出现在某一速率 的速率区间内的分子数为 ，那么 表示分布在这一速率区间内的分子数占总分子数的比率。对于不同的速率 。若速率区间 相同．其比率 的数值一般是不相同的。也就是说，比率 与速率 有关。可以认为它是与 的一定函数 成正比。另一方面，在给定的速率附近，速率区间的大小不，比率 等的数值也是不相同的。 越大，则分布在这个速率区间内的分子数越多。比率就越大． 较大时，是断续的。当 时， ，其比值 为

（1）

上式表示气体处于平衡状态时分子的速率在某一 附近 的速率区间内的概率，即表示大量气体分子在速率 附近 速率区间内的分于数 与气体分子总数N的比率。（1）式称为麦克斯韦速率分布律。它是1859年麦克斯韦在“气体分子运动论的例证”一文中给出的。气体分子的频繁碰撞并未使它们的速度趋于一致．而是出现稳定的分布。他用统计的方法和概率的观点得出在平衡态下，速率在内气体分子数dN与总分子数的比率．1

三个特征速率利用麦克斯韦速率分布律可以计算最概然速率、平均速率和方均根速率，称这三个速率为特征速率。

最概然速率速率分布函数取极大值对应的速率为最概然速率，在该速率处速率分布函数对速率的一阶导数为零

解此方程可得最概然速率为

最概然速率随温度的升高增加，如图所示

平均速率平均速率是速率的平均值，由公式

将麦克斯韦速率分布律代入可得

方均根速率方均根速率是对 速率平方平均后开平方，速率平方平均值为

所以方均根速率为

三个特征速率随着温度升高而增加，它们的数量关系如图所示2