[科普中国]-高斯面

定义

高斯定理是电磁学的基本定理之一，它给出了静电场中，穿过任一闭合曲面S的电通量与该闭合曲面内包围的电量之间在数值上的关系。一般的说，高斯定理说明静电场中电场强度对任一曲面的通量只取决于该闭合曲面内包围电荷的电量的代数和，与闭合曲面内的电荷分布及闭合曲面外的电量无关。但是应该指出，虽然高斯定理中穿过闭合曲面的电通量只与曲面内包围的电荷有关，然而定理中涉及的电场强度却是所有(包括曲面内外）源电荷产生的总电场强度。1

计算方法简单的说，高斯面的计算就是：矢量穿过任意闭合曲面的通量等于矢量的散度对闭合面所包围的体积的积分。公式为：

∮EdS=∫▽Edv 。

▽即是哈密顿算符，E、S为矢量。

高斯定理在物理学研究方面，应用非常广泛。

如：电场E为电荷q（原点处）在真空中产生的静电场，求原点外M（x,y,z)处的散度divE(M).

解：div(qR/(4πr^3)=0 R/r--为r的单位矢量。

静电场属于有源场

应用高斯定理(或散度定理）求静电场或非静电场非常方便。特别是求静电场中的场强，在普通物理学中常用，这里就再举二例。

现在用高斯公式推导普通物理中的高斯定理，

设S内有一点电荷Q其电场过面积元dS的通量为

E·dS=Ecosθds

=Q/(4πε0r^2)* cosθds θ为(ds^r) ε0----真空中的介电常数

显然cosθds为面元投影到以r为半径的球面的面积，在球体内，面元dS对电荷Q所张的立体角为dΩ= cosθds/r^2

故 E·ds= Q/(4πε0)dΩ

因此，E对闭合曲面S的通量为∮E·dS=Q/(4πε0) ∮dΩ=Q/ε0。2