[科普中国]-数学无矛盾性

简介

人们总是相信数学是没有矛盾的，如果在推导或计算中得出互相矛盾的结果，那么总是先检查推导、计算有没有错误，如果无误，便说这是由于推导过程中作了某个错误的假设。这便是反证法。反证法所以可用，完全在于承认了数学没有矛盾。数学的一致性，或者说数学的无矛盾性是大多数数学家和逻辑学家的信条，因此，隐含的矛盾的存在和出现会危及到数学的基础1。

背景非欧几里得几何学的产生源于人们想证平行公设。当多方证明尚无结果时，便想起反证法。假设平行公设不成立但别的公设全部有效而进行推导，如果能够推出矛盾，那么根据反证法便把平行公设作为定理而证出来了。但推来推去始终得不出矛盾，到19世纪初，人们开始相信：否定平行公设不会导致矛盾而将得出一个新几何（非欧几何）来。但要使新几何的确成立，不能依靠这种信念而必须严格证明：否定平行公设而承认其余公设不会导致矛盾。这样，第一次要求对数学的一个部门证明其无矛盾。

证明为了证明，人们使用造模型法（又叫翻译法）。即在乙理论中造一个模型，它满足甲理论的全部公理。这时如果甲理论有矛盾，则在乙理论的这个模型里（亦即翻译成乙理论的语言后）也同样推出矛盾，于是乙理论也自相矛盾了。这样，甲理论的无矛盾性便归结为乙理论的无矛盾性。人们便是靠在欧氏几何中构造非欧几何的模型，用欧氏几何的无矛盾性来保证非欧几何的无矛盾，从而确认非欧几何的。

这时数学分析的无矛盾性也要求证明。微积分的发明者I.牛顿使用“瞬息”概念，而G.W.莱布尼茨使用无穷小的概念，这两概念都有本质的毛病，遭到人们的非难，数学分析的无矛盾性便急待解决。直到19世纪，人们才最终引入极限论，详细发展了实数论，把实数作为“有理数的某种无穷集合”而定义。于是数学分析的无矛盾性便归结为自然数论与集合论的无矛盾性。

这时集合论却出现了矛盾，而且是在集合论最开始、最基本的地方。这便是有名的罗素集合的悖论。在集合论中，人们承认用任何条件都可以作出一个集合。如果试用“不是自己的元素”或“不属于自己”即□□□这个条件来造一个集合，并叫做集合甲。人们问：甲是不是自己的元素？如果“甲属于甲”，那么它不满足上述条件,应该从甲的元素中剔出去,即得“甲不属于甲”。如果“甲不属于甲”，它便满足上述条件，应该放到甲的元素中去，即“甲属于甲”，无论如何，人们都得出矛盾。人们还不知道如何克服这个矛盾，而集合论的影响却越来越大，渗透到数学的各个部门。集合论以及整个数学的无矛盾性问题便急待解决了。

以前的无矛盾性证明都是相对的，把甲理论的无矛盾性归结到乙理论的无矛盾性。后来，即使数学的无矛盾性可以归结到另一理论的无矛盾性，但另一理论的无矛盾性又需证明。显然，这种相对无矛盾性的证明是不能最后解决问题的。为了克服这个困难，希尔伯特提出了一个有名的希尔伯特计划如下。

希尔伯特计划把数学写成形式公理系统而且写得非常彻底，使得数学中任何概念的含意都已经完全写进公理以及推理规则中去了。数学概念将完全由形式公理系统中的公理及推理规则所确定，这样，数学的推导完全不必使用公理系统中未曾明白写出的东西;而所谓公理,可以理解为一些符号串，所谓推理规则可以理解为符号串的变换。既然这样，数学的推导便只是一些数学式子的变换而无需理解式子的内容。数学的无矛盾性可以表达为：在这个公理系统内不能推出两个互相矛盾的符号公式，等价地说不能推出每一个符号公式。因此要证明数学的无矛盾，只须证明在上述公理系统中不能推出“0≠0”这个公式便行。即然不必管其内容，这个要求也就等于：给出一些公式（表示数学公理），又给出一些有关式子的变换规则，求证根据这些规则无论如何不能把上述那些公理式子变成“0≠0”这个式子。 就2数学内容而言可能很艰深抽象，可能讨论到无穷情况，但就式子而言,却是很具体很实在的(它们只是一些符号),对这些符号可以完全在有穷范围内讨论其变换。希尔伯特提出要求，只使用有穷性方法，以使得推论过程更加明确而无任何疑问。所谓有穷性方法是“经得起检查”的方法。

显然，这样的有穷性方法是经得起检查的，如果用它能证明上述数学公理系统不可能推出“0≠0”一式，那就表明数学公理系统没有矛盾，也就可以承认数学没有矛盾了，这就是有名的希尔伯特计划。

这个计划提出后不久，W.阿克曼证明了（作了一些限制后的）自然数论是无矛盾的，引起了人们极大期望。但是，1931年K.哥德尔提出了他的著名的不完备性定理并进而得出结论：要证明一个理论的无矛盾必须在比该理论更强的理论中才能进行。上述的有穷性方法能够表述在自然数论中，希望用它来证明数学甚至自然数论的无矛盾根本是不可能的，自此以后希尔伯特计划便被修正了。最重要的修正是推广数学归纳法（可以叫做直到□的归纳法）到更大的超穷序数去,从而获得更多的数学系统的无矛盾性。

更多讨论以后人们仍然探讨数学中各部门理论的无矛盾性，某些公理或猜测的无矛盾性及独立性（独立性问题归根到底仍是无矛盾性问题）。最重要的进展有：1936年G.根岑用超限归纳法(它强于自然数论)证明全部自然数论的无矛盾性，1936年F.B.菲奇与P.罗伦岑证明了分支类型论的无矛盾性，1940年哥德尔用内模型法证明了选择公理与连续统假设相对于现有其他的集合论公理的无矛盾性，1963年P.J.科恩用力迫法证明了选择公理与连续统假设相对于现有其他的集合论公理的独立性等等，并从而得出很多成果，推进了数学的发展。因此，尽管全体数学的无矛盾性看来是极难（几乎是不可能）证明的，但是对其中某些理论、某些命题、某些猜测相对于别的理论、别的命题公理的无矛盾性仍是很值得继续探讨的。