[科普中国]-等角共轭点

描述

描述一：三角形内一点P，过A做直线L1与AP关于角A的角平分线对称，同样过B,C分别做L2,L3。这三条直线交于P1，则P1是P的等角共轭点；

描述二：设P、Q是三角形ABC内两点，∠PAB=∠QAC,∠PBC=∠QBA,∠PCB=∠QCA，满足题设条件的两点P、Q称为△ABC的等角共轭点。

记号几何学中，设点P是三角形ABC平面上一点，作直线PA、PB和PC分别关于角A、B和C的平分线的反射，这三条反射线必然交于一点，称此点为P关于三角形ABC的等角共轭。（这个定义只对点，不是对三角形ABC的边。）

点P的等角共轭点经常记作P*，显然P*的等角共轭点即为P。

性质1.重心的等角共轭点到三角形的三边的距离的平方和最小。

2.外接圆上一点的等角共轭点是无穷远点。反过来也成立（摘自约翰逊《近代欧氏几何学》）1

3.从两个等角共轭点到各边的垂线的垂足在一个圆上，即等角共轭点有一个公共的垂足圆，圆心是二者连线中点。（摘自约翰逊《近代欧氏几何学》）

4.一点的垂足三角形的边，垂直于原三角形相应顶点与这点的等角共轭市点的连线。（摘自约翰逊《近代欧式几何学》）

5.设P，Q为等角共轭点。则：2

∠A2PA3+∠A2QA3=∠A2A1A3.（摘自约翰逊《近代欧氏几何学》）

6.设任一圆交三角形边于P1、Q1、P2、Q2、P3、Q3，则三个点的组P1P2P3与Q1Q2Q3的密克点P与Q即为等角共轭点。（摘自约翰逊《近代欧式几何学》）

应用内心I的等角共轭点是自身。垂心H的等角共轭点是外心O。重心的等角共轭点是类似重心K。3

在三线坐标中，如果X=x:y:z是不在三角形ABC边上的一点，那么它的等角共轭是 1/x: 1/y: 1/z。因此，X的等角共轭有时也记作X。三角形内部的点集S在三线乘法

(p:q:r) * (u:v:w) = pu:qv:rw，

下构成一个交换群。S中任何一点X的逆是X。

因为等角共轭是一个函数，从而我们可以讨论一个点集的等角共轭。譬如，直线的等角共轭是一条外接圆锥曲线；确切的，若直线交外接圆于 0、1或 2 点，其等角共轭分别为椭圆、抛物线或双曲线。外接圆的等角共轭是无穷远直线。一些有名的三次曲线（例如：Thompson 三次曲线、Darboux 三次曲线、Neuberg 三次曲线）是自等角共轭的，即如果 X 位于这些三次曲线上，那么X也在其上。