[科普中国]-概周期函数

含义

在数学中，概周期函数（或殆周期函数）是一类有近似于周期性质的函数，是连续周期函数的推广。不同的周期函数由于周期不尽相同，其和、差或乘积不一定再是周期函数。概周期函数尽管未必有严格的周期性，但可拥有一些比周期函数更好的性质。这一概念首先于1925年被丹麦数学家哈那德·玻尔引进，后来赫曼·外尔、贝西科维奇等人也有研究和推广。贝西科维奇因概周期函数方面的贡献获得了1931年剑桥大学的亚当斯奖。1

定义概周期函数有若干个等价定义。根据哈那德·玻尔引进的分析学上的定义，一个定义域在实数域上的连续函数f如果满足：对任意正实数 ，都存在实数 ，使得任意长度为 的区间里至少存在一个数 t，使得对于任意的 ，都有：

在高维欧几里得空间中，也可以定义类似的概周期向量函数。

按照定义，所有周期函数都是概周期函数。

值域在复平面上的概周期函数与三角多项式函数有密切关系。哈那德·玻尔首先注意到这类型的函数是在研究有限项狄利克雷级数的时候。当把黎曼ζ函数：ζ(s) 截出有限项后，得到的是一些形如

的项。其中的 。如果只考虑复平面上的一条竖直的直线（也就是说固定s的实数部分 ，而实数t 在正负无穷大之间变动），那么实际上每一项变成：

如果只观察有限个这样的函数的和（以避免 时的解析开拓的问题），那么由于对不同的n， 是线性独立的，这个和不再是一个周期函数。

在相关研究中，哈那德·玻尔开始注意形如：

的三角多项式函数。它是若干个周期互不相同的周期函数 的和。于是概周期函数的另一个定义出现了：如果对每个 ，都存在三角多项式函数： ，使得对于任意的 ，都有：

可以证明，这个定义与第一个定义是等价的。

例子考虑若干三角多项式函数：

其中 是复数。每一个 都是周期函数，因此有限个 的和仍然是概周期函数。然而，对于某些和函数，比如说：

f不是周期函数，但仍然是概周期函数。

性质如同周期函数一样，任何概周期函数都是有界的, 且一致连续。2

如果f 是概周期函数，那么对于任意实数a，f(x+a)、 f(ax)、af(x)、 |f(x)|也是概周期函数。

如果 f 和g 都是概周期函数，那么f+g、f-g和 都是概周期函数。

如果f(x) 是概周期函数，H是f 的值域到R上的一致连续函数，则 H(f(x))也是概周期函数。

如果概周期函数的序列 在实轴上一致收敛于函数f(x) ，则f(x) 也是概周期函数。

如果f(x) 是概周期函数，则f'(x)为概周期函数的充分必要条件是f(x) 的导函数f'(x) 一致连续。

如果f(x) 是概周期函数， ，则F(x)为概周期函数的充要条件为F(x)有界。

参看伪概周期函数

准周期函数

非周期函数

傅里叶级数

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