[科普中国]-狄拉克δ函数-

定义

物理学中常常要研究一个物理量在空间或时间中分布的密度，例如质量密度、电荷密度、每单位时间传递的动量（即力）等等，但是物理学中又常用到质点、点电荷、瞬时力等抽象模型，他们不是连续分布于空间或时间中，而是集中在空间中的某一点或者时间中的某一瞬时，那么它们的密度应该如何表示呢？

一种定义为了在数学上理想地表示出这种密度分布，引入了δ函数的概念。用数学表示为：1

上述表达式不规定δ函数在0点的取值，是因为这个值无法严谨地表述出来，不能笼统的定义为正无穷，并且函数取值的“大小”是由第二个积分式决定的，因此只需限定取值为零的区域即可2。如果函数不在0点取非零值，而在其他地方，可定义

另一种定义

其中H(x)称为阶跃函数或亥维赛单位函数：1

可以证明两种定义是等价的。从第二个定义中，可以看到δ函数可以通过对阶跃函数取微分得到，实际上，只要我们对一个不连续函数取微分，就会出现δ函数3。

理解严格来说δ函数不能算是一个函数，因为满足以上条件的函数是不存在的。数学上，人们为这类函数引入了广义函数的概念，在广义函数的理论中，δ函数的确切意义应该是在积分意义下来理解。在实际应用中，δ函数总是伴随着积分一起出现****3。δ分布在偏微分方程、数学物理方法、傅立叶分析和概率论里都有很重要的应用。4

一些函数可以认为是狄拉克δ函数的近似，但是要注意，这些函数都是通过极限构造的，因此严格上都不是狄拉克δ函数本身，不过在一些数学计算中可以作为狄拉克δ函数进行计算。1

性质狄拉克δ函数有以下性质4，在理解这些性质的时候，应该认为等式两边分别作为被积函数的因子时得到的结果相等。3

对称性偶函数，其导数是奇函数

放缩放缩（或相似性）

挑选性

这种性质称为挑选性，它将在点的值挑选出来

上述性质则可看成适用于高阶导数的挑选性。

方程的解如果方程的实根全是单根，则1

该等式的含义为，若将δ函数作用在一个函数上，则会把函数的实根挑选出来，其左边表示在函数为零时会取非零值，右边表示在处，会取得非零值，并且取值“大小”，或者说在积分中的作用大小与δ函数的比值是函数在处导数的绝对值的倒数。通过这一性质可以得到一些具体的等式，如

与x乘积

以及

这个性质说明δ函数与x的乘积在积分中与0的作用是相同的。

分母为零方程表明，当我们用x去除方程的两边，并且x可以取为零时，我们应该在其中一边加上δ函数的某个倍数3，即我们从方程

不能推断出

只能推断出

研究函数的微分，一般的公式是

为了使导函数在附近是有明确定义（非正常函数的意义）的，通常会对它加上一个附加条件，即它从到的积分为0，而上式中从到的积分为零，从到的积分却是-iπ，因此上式就不是一个正确的等式了，为了改正它，需要增加一个修正项，我们注意到在的负值处有一个虚数项，这个项在0附近有一个突变，对它微分会产生一个函数，那么等式变成3