[科普中国]-正则奇点

在线性二阶常微分方程y''+p(x)y'+q(x)y=0的奇点z0的邻域上，方程的两个线性独立解一般来说也是以z0为奇点的，对这两个解在z0邻域上展开（注意不是泰勒展开），全都具有有限个负幂项，则该奇点z0称为方程的正则奇点。

简介考虑线性微分方程组

自变量 x 取自复数域 D， 是 n 维复的列向量， 是以 x 的复解析函数为元素的 n 阶方阵。由于通过平移 和自变量变化 可以分别将 x=a和 变到零点，所以不妨仅考虑点的奇异性。

对于上面方程的解 y(x) ，对于给定的任意角范围，如果存在一个正数 r 使得，那么就称 x=0 为方程的正则奇点，如果 x=0为方程的某个解的非正则奇点，那么就称 x=0 为方程的非正则奇点(irregrlar singular point)。

对于二阶齐线性微分方程

而言，如果函数 P(x) 和 Q(x) 在 点附近是解析点，则称这样的点为该微分方程的常点。如果P(x) 或Q(x) 至少之一在点点解析性遭到破坏，则称为该微分方程的奇点。如果是上述二阶微分方程的奇点，但和 均为解析函数，则称为该微分方程的正则奇点。反之，如果和至少之一为非解析，则称为该微分方程的非正则奇点。

性质一个与初值问题的初值有关的奇点称为流动奇点(movable singular point) ，也就是说，随着初值的改变，奇点可能消失，也可能奇性变强，奇点的位置依赖与特解的选择。反之，如果奇点与初值无关，则称为固定奇点(fixed singular point)。比如说，如果某方程的通解为 则 z=0 和 z=c 都是解的奇点，但 z=0是固定奇点，而 z=c 是流动奇点，有关奇点的几个重要性质：

（1）（庞加莱定理）任何线性方程只有固定奇点没有流动奇点；

（2）（潘勒韦定理）方程 的解没有流动的本性奇点，其中 P 是 的多项式，且是 z 的解析函数；

（3）（富克斯定理）如果方程 dw/dz=R（w，z）没有流动的本性奇点，其中 R（w，z）是 w 和 z 的有理函数，则该方程必为里卡蒂微分方程。

在线性二阶常微分方程y''+p(x)y'+q(x)y=0的奇点的邻域上，方程的两个线性独立解一般来说也是以为奇点的，对这两个解在邻域上展开（注意不是泰勒展开），全都具有有限个负幂项，则该奇点称为方程的正则奇点。1

奇点一般来说，复平面上使方程 的右端函数或使此方程解的解析性遭到破坏的点就称为奇点。也就是说，对于微分方程而言，奇点即可按方程右端函数的奇性分类，也可按方程解的奇性来分类。通常这两种分类是相互独立的，除非一些特殊系统，否则两者之间没有内蕴关系。

有关奇点点几种常见分类有：正则奇点、非正则奇点、流动奇点、固定奇点等。

本词条内容贡献者为:

尚华娟 - 副教授 - 上海财经大学