[科普中国]-最概然分布

在指定N、U、V 条件下,微观状态数最大的分布出现的概率最大,该种分布即称为最概然分布.

解释系统中微观粒子一般具有一系列离散的能量，记这些能量为ε1，ε2，……，εn，……，相应能量的粒子数目记为a1，a2，……，an，……={an}。数列{an}即为一个分布。不同时刻，分布是变化的。

这些处于相同能量的粒子还可能具有不同的其他微观物理量，比如同具有动能ε的一维自由粒子动量具有两个相反的方向。这时，能量是简并的，而动量是非简并的。记每个能量下细化到非简并时的状态数目分别为k1，k2，……，kn，……={kn} ，称每一个k是该能量的简并度。上述例子相应的能量简并度为2。

某一个分布下的微观状态数，即该分布下系统所有可能出现的微观状态的总数（微观状态概念参见等概率原理或被词条附图），用符号Ω标记。对于每一个分布（见上文），它只规定了每种能量下的粒子数，而许多微观状态都满足这种分布。这些微观状态也是随时间不停发生变化。一种分布下的全部可能的微观状态数目是可以被计算出来的。这种一对多的关系来源于能量的简并（见上文），可分辨和不可分辨全同粒子的特性和泡利不相容原理等等。

根据等概率原理，各个分布下的所有的微观状态出现的概率都一样，因此，分布包含的可能微观状态数目Ω越多时，该分布出现的概率就越大。最大的Ω对应概率最大的分布，该分布称为最概然分布

对于一个系统，微观粒子每时每刻都在变化，各种分布都会出现，但它们出现的概率不同（如上文所述，原因被抽象为该分布下微观状态数不同），物理学用出现概率最大的一个分布（最概然分布）来代替当前系统微观粒子的分布，而忽略其他分布出现的可能。这种处理是合理的，因为计算表明，当粒子数足够大时，最概然分布出现的概率远远高于其他分布出现的概率。

关系分布与微观状态数Ω有关，而Ω又与{an}和{kn}有关1。而最概然{an}又和系统总能量，系统粒子总数，{kn}和{εn}有关，所以宏观和微观在数学上就被联系起来，进而可以讨论它们在物理上的联系。

著名的麦柯斯韦-波尔兹曼分布，是在最概然分布的物理意义下产生的，它只是众多分布中的一个极大值。这之后出现的费米-狄拉克分布和玻色-爱因斯坦分布也是一个最概然分布，无论是用经典方法还是系综理论，都离不开最后这步处理。这三个分布的区别在于各自的微观状态数的表达式不同，因为描述这三种分布下粒子的限定条件不同。1

示例不同的M 值代表了不同的分布,因此,M 是一个指明系统分布的特征参数。又因A 和B 是同一能
级的两个简并量子态,因此,所有微观状态有相同的能量,他们都服从等概率原理。

在这个平衡系统中,最概然分布出现的概率与子数N 的平方根成反比。这就是说,随着N 增大,最概然分布出现的概率反而减小。当N抑1024 时,Pmax 抑10-12,这是一个很小的概率。那么,为什么还说最概然分布可以代表热力学系统的平衡分布呢? 图2 是不同N 时的平衡分布及最概然分布图[2] 。为清楚地显示大数,图2 中的纵坐标和横坐标都用相对值表示,前者为棕(M) / 棕max ,后者为M / N,其中M / N = 0. 5 的虚线所示即为最概然分布2。
由图2 可见,随着N 增大,分布曲线变得越来越窄,换句话说,平衡分布越来越接近最概然分布。

本词条内容贡献者为:

尚华娟 - 副教授 - 上海财经大学