[科普中国]-抛物型偏微分方程

简称抛物型方程，一类重要的偏微分方程。热传导方程是最简单的一种抛物型方程。 热传导方程研究热传导过程的一个简单数学模型。根据热量守恒定律和傅里叶热传导实验定律导致热传导方程。

定义抛物型偏微分方程组简称抛物型方程组 (system of parabolic equations,parabolic system)。对于抛物型方程组，一般来说，最大值原理和比较原理并不成立。

二阶抛物线方程组先定义二阶抛物线方程组，仅以散度型的二阶线性方程组为例。记 u=（u1,...,uk），

设 Q 是 中的一个集合，并且对于每一个正整数组（i，j）， ，Aij (x,t) 是定义在 Q 上的 矩阵。考虑下面的二阶线性偏微分方程组：

(1)

如果对任意的 和任意的 矩阵 的谱都位于右半平面，即谱的实部大于零，则称方程组（1）在 Q 上是二阶线性抛物型方程组。

高阶抛物型方程组高阶抛物型方程组的定义比较复杂，下面仅介绍高阶偏导数项不耦合的方程组。

假设对于 i=1,...,k，关于 ui 的偏微分方程

是 2mi 阶抛物型方程，其中， 是整数。这时，称偏微分方程组

是抛物型方程组，其中

对于一个抛物型方程组，如果每个方程式中耦合最多是未知函数的耦合，而没有未知函数的偏导数的耦合，就称这样的抛物型方程组为弱耦合，否则称为强耦合。

例如，方程组

是一个耦合抛物型方程组，这里 d1,d2>0。下面的方程组

是一个强耦合抛物型方程组，其中a1,a2,b1,b2中至少有一个不为零，这里 d1,d2> 0。1

本词条内容贡献者为:

尚华娟 - 副教授 - 上海财经大学