[科普中国]-负指数幂

当幂的指数为负数时，称为“负指数幂”。正数a的-r次幂(r为任何正数)定义为a的r次幂的倒数。

基本介绍在指数法则 中，如果 ，则就产生了负指数幂。

定义负指数幂等于把幂指数变号后所得的幂的倒数。也就是

应该知道，负指数幂也是不能用正整指数幂的意义来解释的。也就是说“ ”不能认为是“ 个 相乘”的意思。另外在定义中规定底数不得为零，其原因是和零指数幂的定义是一样的。

在 中规定， ，这是因为 产生于 ， 当 时， ，我们知道0是不能作除数的， 所以 中，当 时， 这是没有意义的1。

相关概念幂n个 相乘的积称为“ 的n次幂”或“ 的n次乘方”记作 ， 是底数，n是指数。这里n可以是分数、负数，分别称为“分指数幂”、“负指数幂”，也可以是任意实数或复数。

分指数幂当幂的指数为分数时，称为“分指数幂”。正数 的 次幂( 是既约正分数)定义为 的m次幂的n次算术根，就是：

乘方（1）n个 相乘的积 称为 的n次“乘方”，参见“幂”。

（2）从 求 的运算，称为“乘方”。

正整数指数幂一般地， 叫作 的 次幂， 叫作幂的底数， 叫作幂的指数，并且规定 。我们注意到在 的n次幂定义中，n是正整数，因此通常又把它称为正整数指数幂2。

容易验证，正整数指数幂的运算满足如下法则：

(1) ；

(2) ；

(3) ；

(4) 。

负整数指数幂在法则(3)中规定了 ，如果取消这个限制，就需要讨论下面两种情形：

❶当 时，幂的商有如下运算：

依照法则(3)则有

即

这就说明当指数为负整数时，幂的值是有意义的。此时规定

叫作负整数指数幂。

零指数幂❷当 时，幂的商有如下运算：

且 故

这说明当指数为零时，幂的值是有意义的。此时规定

叫作零指数幂，又叫零次幂。但是 是无意义的。

正整数指数幂、负整数指数幂、零指数幂统称为整数指数幂。正整数指数幂的运算法则对整数指数幂仍然是成立的。特别地，有2

整数指数幂的运算法则同上所述，容易验证，正整数指数幂的运算满足如下法则：

(1) ；

(2) ；

(3) ；

(4) 。

(5) ；

**注：**①这些运算性质在整数指数范围内仍然适用。

②任何不等于零的数的 (n为正整数)次幂，等于这个数的n次幂的倒数，即 ( ，n为正整数)。在这两个幂的意义中，强调底数 都不等于零，否则无意义。

③学习了零指数幂和负整数指数幂后，正整数指数幂的运算性质可以推广到整数指数幕的范围1。

幂的运算法则当指数概念扩充到任意实数之后，幂的运算法则可合并为3：

(1) ；

(2) ；

(3) 。

本词条内容贡献者为:

尚华娟 - 副教授 - 上海财经大学