[科普中国]-微分系数

微分系数(differential coefficient)即导数，18世纪，拉格朗日(J.-L.Lagrange)在企图用代数方法定义微积分的基本概念时，先定义x的函数的微分A·Δx，再求出它的系数A，并称为微分系数，用通用的语言来说，它就是导数，这个名词今已少用1。

基本介绍设 是定义在区间 上的函数，如果a是区间 内的一点，那么 是定义在区间 内除a以外的 点上的函数，此时如果存在极限：

那么就称 在a点处可微(differentiable)，或者称在 处可微，并称此极限为函数 在a1点处的微分系数(differentiable coefficient)，记为 2：

相关概念可微与导函数当函数 在所属区间内的任意点x均可微时，则称函数可微，或称函数 关于 x可微。此时 也是定义在区间 上的关于x的函数，称 为函数 的导函数(derived function derivative)，求函数 的导函数 ，称为对函数 进行微分，或函数 关于x进行微分。

在(1)式中如果用x替换a，用x+h替换x，则

当 时，用 表示 。有时也称 为微商(differentiable quotient)。令 ，则

定理1如果函数在x点可微，那么函数在x点连续。

推论定义在某区间上的可微函数在该区间上是连续函数。

无穷小量当自变量x增加 成为时，相应地函数y也增加 成为 ，因此把和 分别称为x和y的增量(increment)。

在x点可微时，设

则 是满足h≠0的h的函数，并且 ，虽然 是定义在h≠0的h的函数，但当h=0时，若定义 ，则对所有的h，

成立，如果令函数 ，那么

一般地，若 ，则称函数 为无穷小量，当 是无穷小量时，无穷小量 用符号 表示，即用小写字母o来代表 ，在不关心函数 的具体形式时，用符号 很方便。如果使用这个符号，那么上式为：

上式(3)可写为：

如果用a替换x，用x替换x+h，那么

切线对在a点处可微的函数 ，把由线性方程式

确定的直线：

称为定义在图像 上 点处函数 的切线(tangentline)。在高中数学中，也称它为在 点处图像 的切线，其方程式是(7)，但在我们这里，把方程式(7)所确定的直线定义为在 点处 的切线。

表示函数 的微分系数的符号除 之外，还有 等。

左微分系数和右微分系数微分系数的定义 中，当a是 的定义域 的左端点，例如 时， 当x从右向a接近时的极限记作 ，所以，

一般地，即使a是 的内点，如果极限 存在，则称此极限为 在a点处的右微分系数(right differential coefficient)。用 表示：

并且这时，称 在a点处向右可微，或右可微(right differentiable)。

又，设 ，则

同理可定义左微分系数 。

例如，如果 是定义在区间 上的可微函数，则 ，又，如果定义在区间上的函数在的内点a处左可微和右可微，且，那么在a点处可微，并且，。

本词条内容贡献者为:

王海侠 - 副教授 - 南京理工大学