[科普中国]-交运算

交运算有两种含义，它可以指集合的交运算，即两个集合的交集，与之对应的是集合的并运算，即两个集合的并集；也可以指格的交运算，与之相对应的是格的结运算。

关于格的交运算格(lattice)是一类代数结构，它是建立在偏序集之上的，由E的任意元素构造的如下两个集合{且}及{且}，它们作为P的子集均仍为偏序集，一般不一定有最小元或最大元。若对P的任意元素，均有最小元，均有最大元，则称P为格，并记为。在格上，把和其最小元的对应关系视为一类二元运算，称为x和y的交，记为，对称地，把和其最大元的对应关系视为x和y的结，记为。它们是格上最基本的运算，这两类运算满足：

1.同一律：

2.交换律：

3.结合律：

4.吸收律：

其中和z均为E的任意元素，因此格又可视为满足上述四条规律的代数结构。

虽然格的理论建立较晚，大约在20世纪30年代左右，但是很快就在解决序集问题和组合问题及代数问题中迅速发展，成为有关研究的有效理论基础，格理论伴随拟阵理论的发展就是一个明显的例证，与一般具有序特征的代数结构不同的是，格中元素的序特征不是外在的，而是内在的，这是由于它们的序关系完全可以等价地由格的内在运算来刻画：当且仅当或者当且仅当，这也反映了格的交运算与结运算的对称性。有一些重要的格的例子。例如，格，这里为E的所有子集的构成的集族，而，其上的结运算为集x和集y的并集，交运算为集x和集y的交集。又如，若自然数n的所有正整除数组成集合为E，E的元素有序关系当且仅当x能整除y，则偏序集为格，为x和y的最小公倍数，为x和y的最大公约数1。

集合的交运算定义对于任意两个集合A、B，由所有既属于A又属于B的元素构成的集合，称作A与B的交集，记作。即：={且}。

举例说明例如，，则

又如，，则

如果集合，也就是说集合A和B没有公共元素，则称A、B不相交。
例如：

那么，即A、B不相交2。

图形表示集合之间的运算可以用文氏(John Venn英国数学家，1834-1923)图形象地表示。如图1所示，用平面上的矩形表示全集。用矩形内的圆表示中的任一集合。图中阴影部分为。

由集合交运算的定义可知，交运算有以下性质：

(1) 幂等律：

(2)同一律：

(3)零律：

(4)结合律：

(5)交换律：

类似地，结合律可以用归纳法推广到有限个集合的情况，记2

本词条内容贡献者为:

王沛 - 副教授、副研究员 - 中国科学院工程热物理研究所