[科普中国]-马克士威应力张量

在电磁学里，马克士威应力张量，即麦克斯韦应力张量(Maxwell stress tensor)是描述电磁场带有之应力的二阶张量。麦克斯韦应力张量可以表现出电场力、磁场力和机械动量之间的相互作用。对于简单的状况，例如一个点电荷自由地移动于均匀磁场，应用洛伦兹力定律，就可以很容易地计算出点电荷所感受的作用力。但是，当遇到稍微复杂一点的状况时，这很普通的程序会变得非常困难，方程洋洋洒洒地一行又一行的延续。因此，物理学家通常会聚集很多项目于麦克斯韦应力张量内，然后使用张量数学来解析问题。

导引先列出麦克斯韦方程组，高斯定律： 高斯磁定律： 法拉第感应定律： 麦克斯韦-安培定律：

其中， 是电场， 是磁场， 是电荷密度， 是电流密度， 是电常数， 是磁常数。

从洛伦兹力定律开始，一个电荷分布所感受到的单位体积的作用力 是

应用高斯定律和麦克斯韦-安培定律，把电荷密度和电流密度替换掉，只让电场和磁场出现于方程：

应用乘积法则和法拉第感应定律：

为了使 的项目 的项目能够相互对称，加入一个 项目：

应用矢量恒等式，对于任意矢量 ：

将 的方程内的旋度项目除去：

这方程最右边项目涉及了坡印亭矢量：

设定麦克斯韦应力张量 （以英文字母上面加两只箭矢符号来标记二阶张量）：

其中， 是克罗内克函数。

定义一个矢量 与麦克斯韦应力张量 的内积为

那么，一个电荷分布所感受到的单位体积的作用力 是

麦克斯韦应力张量的性质麦克斯韦应力张量是一个对称张量，表达为

麦克斯韦应力张量的单位是牛顿/米。麦克斯韦应力张量的 ij 元素诠释为，朝着 i-轴方向，施加于 j-轴的垂直平面，单位面积的作用力；对角元素代表负压力，非对角元素代表剪应力。对角元素给出张力（拖拉力）作用于其对应轴的垂直面微分元素。不同于理想气体因为压力而施加的作用力，在电磁场内的一个面元素也会感受到方向不垂直于其面的剪应力。这是由非对角元素给出的。2

动量守恒定律在一个体积 内的电荷，所感受到的总作用力 是

应用散度定理，可以得到

其中， 是体积 的闭合表面。

根据牛顿第二定律，

其中， 是动量。

所以，电荷的动量 可以表达为

其中， 是储存于电磁场的动量（坡印亭矢量是由电场和磁场组成的一个复合矢量）。

稍加编排，可以得到动量守恒定律的积分方程：

动量守恒定律阐明，一个体积的总动量（电荷的动量加上电磁场的动量）的增加速率等于每秒钟流入闭合表面的动量。负的麦克斯韦应力张量 是一个动量通量密度。

动量守恒定律也能以微分形式表达为

其中， 是电荷的动量密度， 是电磁场的动量密度。3

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本词条内容贡献者为:

王沛 - 副教授、副研究员 - 中国科学院工程热物理研究所