[科普中国]-单位圆

单位圆指的是平面直角坐标系上，圆心为原点，半径为单位长度的圆

定义如果单位圆上的点 (x, y)位于第一象限，那么x与y是斜边长度为1的直角三角形的两条边，根据勾股定理，x与y满足方程：

由于对于所有的x来说x2 = (−x)2，并且所有这些点相对于x轴或者y轴的反射点也都位于单位圆上，因此单位圆上的所有点都满足上面的方程1。

在三角学中，单位圆通常是指欧几里德平面直角坐标系中圆心为 （0,0）、半径为 1 的圆。在教科书中，它常常出现在三角函数入门的那几页，并且与称为三角函数线的几条线段在一起，用于定义或解释实数的三角函数值。一般地，在复平面内，n 个 n 次的单位根所对应的点正。

数学性质1. 在复平面（即高斯平面）上，单位圆诱导了著名的欧拉公式和棣莫佛定理。 换句话说， 单位圆上的点表示模长为1的复数， 它诱导了复数的三角形式和指数形式之间的关系2。

2. 单位圆上有自然的群结构： 即弧度的加法群结构。 换句话说，就是模长为1的复数集合 上有一个自然的乘法结构。

3. 单位圆诱导了几何反演变换 ， 这和复变函数论的诸多结论密切相关。

4. 单位圆是最简单的非单连通 的拓扑空间之一， 常记为S^1. 它的基本群同构于整数群。

5. 单位圆同胚于射影直线， 是拓扑学中最基本的研究对象。这个同胚映射来自于从北极点作的球极投影。

6. 单位圆盘到自身的连续映射一定存在不动点。 这就是著名的布威劳尔不动点定理 。

7. 单位圆的群结构诱导了著名的指数映射 ， 和微分几何中著名的陈类（也称陈示性类，因陈省身得名）有着深远的联系。

应用1. 单位圆广泛应用于三角函数，对正弦函数，余弦函数，正切函数等的定义，函数图像的绘制有重要作用！3

2. 定义三角函数线

3. 单位圆应用于检测心率异常与否的一种图像标准。

本词条内容贡献者为:

刘军 - 副研究员 - 中国科学院工程热物理研究所