[科普中国]-分离定理

分离定理指在投资组合中可以以无风险利率自由借贷的情况下，投资人选择投资组合时都会选择无风险资产和最佳风险资产组合的组合，因为这一点相对于其他的投资组合在风险上或是报酬上都具有优势。所以谁投资都会选择这一点。投资人对风险的态度，只会影响投入的资金数量，而不会影响最佳风险资产组合。此即为分离定理。

定义分离定理指在投资组合中可以以无风险利率自由借贷的情况下投资人选择投资组合时都会选择无风险资产和风险投资组合的得最优组合点，因为这一点相对于其他的投资组合在风险上或是报酬上都具有优势。所以谁投资都会选择这一点。投资人对风险的态度，只会影响投入的资金数量，而不会影响最优组合点。此为分离定理。1

不需要知道投资者对风险和回报的偏好，就能够确定其风险资产的最优组合。

分离定理也可以表述为最佳风险资产组合的确定独立于投资者的风险偏好。它取决于各种可能风险组合的期望报酬率和标准差。个人的投资行为可分为两个阶段：先确定最佳风险资产组合。后考虑无风险资产和最佳风险资产组合的理想组合。只有第二阶段受投资人风险反感程度的影响，只有在第二个阶段中投资人才决定是否融资，第一阶段也即确定最佳风险资产组合时不受投资者风险反感程度的影响。关于投资与融资分离的决策理论被称作分离定理。

分离定理成立的原因在于：有效边界是线性的。2

分离理论的应用分离定理在理财方面非常重要，它表明企业管理层在决策时不必考虑每位股东对风险的态度。证券有的价格信息完全可以用于确定投资者所要求的报酬率，该报酬率可指导管理层进行决策。

分离定理（经济）不管投资者的个人偏好如何，所有的投资者都想运用净现值法则（NPV法则）来判断是接受还是摒弃同一投资项目。

投资者进行两个分离的决策：

1、在估计组合中各种证券或资产的期望收益和方差；

2、计算各种证券或资产收益之间的协方差，投资者可以计算风险资产的有效集。

有效集：当多种证券构成投资组合时，所有的组合都处于一个区域之中，投资者无论如何都要选择该区域上方的边界，这一边界即是有效集。

在所有的投资组合中，对应同一个方差，可以有多种期望收益出现，当然投资者希望能够在同一个方差下最大化期望收益，于是出现了一个规划：

maxE(s) s.t. var(s)=k where k is a constant，这里s表示一个投资组合；

同样，在所有投资组合中，对应一个期望收益，投资者总是希望能最小化他所面临的风险：

min var(s) s.t. E(s)=k where k is a constant。

以上这两者并没有本质上的区别，由其中任何一个规划，针对所有投资组合，我们都可以在二维平面上得出一组数据，这组数据是最优的投资组合，即有效集。对应可以达到的期望收益，有效集上的组合有最小的方差；而对应同一个方差，有效集上的投资组合有最大的期望收益。

分离定理（数学）分离定理（Seperation Theorem）：如果非空集合S、F是凸集，且没有共同的内点，则存在直线l：px=b将集合S、F分开，且有：

（1）px≤b，任意x∈S；

（2）px≥b，任意x∈F。

当选择变量是三维的情形，则直线l：px=b是一个平面，我们称之为分离平面；而当三维以上的情形，则相应的称之为分离超平面。

两基金分离定理在所有有风险资产组合的有效组合边界上，任意两个分离的点都代表两个分离的有效投资组合，而有效组合边界上任意其他的点所代表的有效投资组合，都可以由这两个分离的点所代表的有效投资组合的线性组合表示。3

通俗的讲就是，一个投资者的最优风险资产函组合是与投资者对风险和收益的偏好状态无关的。

核心：在均衡条件下，每一位投资者只要向风险资产投资则必定持有切点组合；

若切点组合的构造已知，则均衡条件下的投资组合工作大为简化，投资者只需将资金适当的分配与无风险资产和切点组合即可实现最佳投资。

本词条内容贡献者为:

刘军 - 副研究员 - 中国科学院工程热物理研究所