发散级数指不收敛的级数。一个数项级数如果不收敛,就称为发散,此级数称为发散级数。一个函数项级数如果在(各项的定义域内)某点不收敛,就称在此点发散,此点称为该级数的发散点。按照通常级数收敛与发散的定义,发散级数是没有意义的。然而为了实际的需要,可以确立一些法则,对某些发散级数求它们的“和”,或者说某个发散级数在特定的极限过程中,逐渐逼近某个数。但是在实际的数学研究以及物理等其它学科的应用中,常常需要对发散级数进行运算,于是数学家们就给发散级数定义了各种不同的“和”,比如Cesàro和,Abel和,Euler和等,使得对收敛级数求得的这些和仍然不变,而对某些发散级数,这种和仍然存在。
简介发散级数指不收敛的级数。一个数项级数如果不收敛,就称为发散,此级数称为发散级数。一个函数项级数如果在(各项的定义域内)某点不收敛,就称在此点发散,此点称为该级数的发散点。1
记无穷级数.
当n→时,若部分和数列{}有极限s,即则称无穷级数收敛,且称s为无穷级数的和,并记为
若数列{}极限不存在,则称无穷级数发散。
总之,发散是收敛的否定。
级数的求和(summ ation ofseries)
赋予某些发散级数以“和”的法则,按照柯西的定义,收敛级数以其部分和的极限为和,这种和是有限(项的)和的直接推广,可称为柯西和,按照这种定义,发散级数是没有和的,从而只是没有实际意义的数学记号而已。然而数学的发展表明,完全排斥发散级数是不恰当的。例如,函数 1/(1+x2) 在 x=±1 时是有意义的,而在其泰勒展开式中令x=±1却得到发散级数,这说明它应该是有“和”的。
再如连续函数的傅里叶级数可能是发散的,但其前 n 个部分和的算术平均当 n→∞ 时却总有确定极限,这说明这些级数是可以有“和”的。在这些情况下,人们需要也可以对某些发散级数的“和"作出合理的解释。于是出现这样一些法则,用它可以确定任意级数有和或者没有和,并在前一种情况下,给出求和的方法,这种法则就称为级数的求和。
这种法则是很多的,如果将某个这种法则称为 M 求和法,而按 M 求和法是有和的,并可求出和为S,则称为 M 可和的,并记为。
级数求和主要是针对发散级数提出来的。每一种求和法都能使某些发散级数有和,同时又希望按照它,所有的收敛级数都是可和的,并且所求出的和与其柯西和相等,这样的级数求和方法就称为正则的。级数的正则求和法是收敛性(柯西和)概念的直接推广,在调和分析、通近论等数学学科中有很多应用。
每一种有意义的级数求和法表面上都有很重的主观定义色彩,但在数学内部多半都可找到它的深刻背景,像阿贝尔求和法,源于关于泰勒级数的阿贝尔极限定理;而算术平均求和法,就与傅里叶级数部分和的性态有关。
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王海侠 - 副教授 - 南京理工大学