[科普中国]-无穷逻辑

无穷逻辑是由一般无穷逻辑、无穷深逻辑、无穷可容逻辑、无穷概率逻辑等构成的逻辑群。它们是经典一阶逻辑沿着四个方面之一作无穷扩张的逻辑。1

概念无穷逻辑是由一般无穷逻辑、无穷深逻辑、无穷可容逻辑、无穷概率逻辑等构成的逻辑群。它们是经典一阶逻辑沿着四个方面之一作无穷扩张的逻辑，即(1)沿逻辑联结词(合取和析取)运算规模作无穷扩张；(2)沿量词(全称量词和存在量词)运算规模作无穷扩张；(3)沿函数和谓词的元数作无穷扩张；(4)沿公式复杂度作无穷扩张。无穷逻辑是20世纪70年代以来发展起来的一门逻辑科学。在经典一阶逻辑的各种扩张中，它的建立和发展让人们更深刻地了解了经典一阶逻辑的各种重要的元数学性质(例如紧致性定理)，拓宽了研究现代逻辑的领域(例如有穷逻辑的紧致性为何在无穷逻辑中必须相对化或代之于新的紧致性)。无穷逻辑有可靠性定理和完全性定理、内插定理、Lovenheim-Skolem定理和部分同构扩张定理。是一般逻辑(general logic)、广义量词逻辑、概率逻辑、抽象模型论、广义递归论、可容集合论、可构成集合论、描述集合论等逻辑理论的基础之一。无穷逻辑对无穷这个概念做了比经典一阶逻辑更深入、更精细的研究，从而大大地拓宽了对无穷这个概念的理解。

详细介绍将一阶逻辑中的公式和推理的长度推广至无穷长得到的。在它的公式中，可以出现无穷多个公式的合取式或析取式，也可以出现无穷多个量词。由于一阶逻辑的模型论应用到数学的其他分支时受到了一定的限制，因而产生了无穷逻辑的模型理论。在描述集合论中也使用这种逻辑。1963年前后，因C.卡普及D.S.斯科特等的工作而发展起来，在1969年前后，J.巴威斯及M.马凯依等又在这个方向上作出了重要的贡献。
如果α、β是两个无穷基数(见集合论)，那么无穷逻辑Lαβ的形式语言与一阶逻辑的形式语言相似,即除了有α个变元，可以在基数小于α的公式集上构作合取式或析取式,以及允许在小于β个变元上加全称量词或存在量词外,结构与一阶逻辑相同。因此,L就是通常的一阶逻辑,另一简单情形是L。它的公式中允许出现可数无穷个公式的合取式或析取式，但只能出现有穷个量词。例如，可用L的一个句子表示挠群的公理凬x∨{n·x=0:0nL应用最广泛，且对它的研究也最深入，因此以L为例，叙述无穷逻辑的一些主要结果。
可以用L逻辑的一个句子刻画可数模型的全部性质，也就是说,如果L是一个只有可数个符号的语言，M是L的一个可数模型,那么存在L中的一个句子φ,使得对于L的所有可数模型N，N≌M的必要且充分条件是N|=φ。此定理是斯科特于1965年证明的。
为保持L逻辑的完备性，必须引进无穷长的推理规则，并且将形式证明的长度也推广至无穷。
关于L的公理和推理规则上加上诸如公理:∧φ→φ，对于每个公式φ∈φ；推理规则式中φ是L中公式的可数集合。容易看出，上述的公理及推理规则的长度可以是无穷的。无穷逻辑的形式证明的定义同一阶逻辑。易知，L的形式证明的长度必小于ω1（即为可数无穷）。
有了上述概念，就可以陈述关于L的完备性定理（卡普，1964）:一个L中的句子φ是定理，当且仅当它是有效的。
假定L中仅有可数个符号,那么在L中经常遇到的困难是它的公式集是不可数的。而在应用中常常只需考虑可数个公式就够了。因此需要对L的句子集（也记为L）加以限制，建立起满足一定性质的可数的公式子集的概念。如果用 A表示满足一定性质的可数集合，则称为L上的一个断片。
无穷逻辑L失去了一阶逻辑的两个基本性质：紧致性定理及勒文海姆－斯科朗－塔尔斯基定理。为了在L的公式集的子集上建立紧致性，引进了可允许集的概念。当A为可允许集时,LA就称为可允许断片,巴威斯在L的可允许断片LA上建立了相应于通常一阶逻辑的紧致性定理(1969)。1

无穷深逻辑无穷深逻辑是无穷逻辑的一种。主要思想是用树(通常是无穷高的)作为公式的形成规则及其语义解释，并用对策论(game theory)方法给出不同的语义来解释它们。其语形结构是一种树状结构，这类公式有很强的表达力，其模型论保持通常无穷逻辑的许多重要结果，丰富对无穷这个概念的理解。由于无穷深语义的多样性，产生了可满足关系的多样性，有助于对逻辑这个概念的更深理解。

无穷可容逻辑无穷可容逻辑是无穷逻辑的一种。是以可容集合论KPU系统及其子系统或扩张为元理论的逻辑。其主要思想是根据可容集合论KPU系统及其子系统或扩张，把所有的逻辑概念集合论化。这些逻辑概念包含“语言”、“模型”、“公式”、“可满足”和“有效性”。无穷可容逻辑是研究可容集的∑1紧致性和骆文海斯科林定理的有力工具。

无穷概率逻辑无穷概率逻辑是无穷逻辑的一种。它的主要思想是在一般无穷逻辑中引入概率量词来代替全称量词和存在量词。它的公理化系统也是在一般无穷逻辑系统中删去关于全称量词和存在量词的公理和推理规则，代之以关于概率量词的公理和推理规则。这种逻辑的模型论引入概率测度来表示概率量词的直观意义。它有可靠性定理和完全性定理。作为无穷概率逻辑的一个变种的无穷可容概率逻辑还有巴威斯(Barwise)紧致性定理。1

本词条内容贡献者为:

尚华娟 - 副教授 - 上海财经大学