[科普中国]-平面直角坐标系

在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系（Rectangular Coordinates）**。**通常，两条数轴分别置于水平位置与垂直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。水平的数轴叫做x轴（x-axis）或横轴，垂直的数轴叫做y轴（y-axis）或纵轴，x轴y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点（origin），以点O为原点的平面直角坐标系记作平面直角坐标系xOy。1

发展历程坐标的思想是法国数学家、哲学家笛卡尔所创立的。2

传说：

有一天，笛卡尔（Descartes 1596—1650，法国哲学家、数学家、物理学家）生病卧床，但他头脑一直没有休息，在反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程则比较抽象，能不能用几何图形来表示方程呢？这里，关键是如何把组成几何的图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩。他就拼命琢磨。通过什么样的办法、才能把“点”和“数”联系起来。突然，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝垂了下来，一会儿，蜘蛛又顺着丝爬上去，在上边左右拉丝。蜘蛛的“表演”，使笛卡尔思路豁然开朗。他想，可以把蜘蛛看做一个点，它在屋子里可以上、下、左、右运动，能不能把蜘蛛的每个位置用一组数确定下来呢？他又想，屋子里相邻的两面墙与地面交出了三条直线，如果把地面上的墙角作为起点，把交出来的三条线作为三根数轴，那么空间中任意一点的位置，不是都可以用这三根数轴上找到的有顺序的三个数来表示吗？反过来，任意给一组三个有顺序的数，例如3、2、1，也可以用空间中的一个点 P来表示它们。同样，用一组数（a， b）可以表示平面上的一个点，平面上的一个点也可以用一组二个有顺序的数来表示。于是在蜘蛛的启示下，笛卡尔创建了直角坐标系。

坐标系在平面“二维”内画两条互相垂直，并且有公共原点的数轴，简称直角坐标系。平面直角坐标系有两个坐标轴，其中横轴为x轴(x-axis)，取向右方向为正方向；纵轴为y轴（y-axis)，取向上为正方向。坐标系所在平面叫做坐标平面，两坐标轴的公共原点叫做平面直角坐标系的原点。x轴y轴将坐标平面分成了四个象限（quadrant），右上方的部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。象限以数轴为界，横轴、纵轴上的点及原点不在任何一个象限内。一般情况下，x轴y轴取相同的单位长度，但在特殊的情况下，也可以取不同的单位长度。

点的坐标在直角坐标系中，对于平面上的任意一点，都有唯一的一个有序数对（即点的坐标(coordinates)）与它对应；反过来，对于任意一个有序数对，都有平面上唯一的一点与它对应。

对于平面内任意一点C，过点C分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应点a,b分别叫做点C的横坐标、纵坐标，有序数对(ordered pair)（a,b）叫做点C的坐标。一个点在不同的象限或坐标轴上，点的坐标不一样。

特殊位置的点的坐标的特点：

1.x轴上的点的纵坐标为零；y轴上的点的横坐标为零。

2.在任意的两点中，如果两点的横坐标相同，则两点的连线平行于纵轴（两点的横坐标不为零）；如果两点的纵坐标相同，则两点的连线平行于横轴（两点的纵坐标不为零）。

3.点到轴及原点的距离：

点到x轴的距离为|y|； 点到y轴的距离为|x|；点到原点的距离为x的平方加y的平方的算术平方根。

象限第一象限还可以写成Ⅰ，****第二象限还可以写成Ⅱ，****第三象限还可以写成Ⅲ，****第四象限也可以写成Ⅳ。

.第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。

对称点1.关于x轴成轴对称的点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数。（横同纵反）

2.关于y轴成轴对称的点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数。（横反纵同）

3.关于原点成中心对称的点的坐标，横坐标与横坐标互为相反数，纵坐标与纵坐标互为相反数。（横纵皆反）

点的符号横坐标 纵坐标

第一象限：（+，+）正正

第二象限：（-，+）负正

第三象限：（-，-）负负

第四象限：（+，-）正负

x轴正半轴：（+，0）

x轴负半轴：（-，0）

y轴正半轴：（0，+)

y轴负半轴： (0，-）

x轴上的点的纵坐标为0，y轴上的点的横坐标为0。

原点：（0，0）

注：以数对形式（x，y）表示的坐标系中的点。如（2，-4），“2”是x轴坐标，“-4”是y轴坐标。

1.第一象限中的点的横坐标(x)大于0，纵坐标(y)大于0。

2.第二象限中的点的横坐标(x)小于0，纵坐标(y)大于0。

3.第三象限中的点的横坐标(x)小于0，纵坐标(y)小于0。

4.第四象限中的点的横坐标(x)大于0，纵坐标(y)小于0。

性质1.坐标平面内的点与有序实数对一一对应。

2. 一三象限角平分线上的点横纵坐标相等。

3.二四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数。

4.一点上下平移，横坐标不变，即平行于y轴的直线上的点横坐标相同。

5.y轴上的点，横坐标都为0。

6.x轴上的点，纵坐标都为0。

7.坐标轴上的点不属于任何象限。

8.一个关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标变为原坐标的相反数。反之同样成立。

9.一个关于原点对称的点横纵坐标均为原坐标相反数。

10.与x轴做轴对称变换时，x不变，y变为相反数。

11.与y轴做轴对称变换时，y不变，x变为相反数。

12.与原点做轴对称变换时，y与x都变为相反数。

高斯平面直角坐标系为了方便工程的规划、设计与施工，我们需要把测区投影到平面上来，使测量计算和绘图更加方便。而地理坐标是球面坐标，当测区范围较大时，要建平面坐标系就不能忽略地球曲率的影响。把地球上的点位化算到平面上，称为地图投影。地图投影的方法有很多，目前我国采用的是高斯——克吕格投影（又称高斯正形投影），简称高斯投影。它是由德国数学家高斯提出的，由克吕格改进的一种分带投影方法。它成功解决了将椭球面转换为平面的问题。3

投影方法高斯投影的方法是将地球按经线划分为带，称为投影带。投影是从首子午线开始的，分6°带和3°两种。每隔6°划分一带的叫6°带，每隔3°划分一带的叫3°带。我国领土位于东经72°∽136°之间，共包括了11个6°带，即13∽23带；22个3°投影带即24∽45带。

设想一个平面卷成横圆柱套在地球外，如图1－5（a)所示 。通过高斯投影，将中央子午线的投影作为

纵坐标轴，用x表示，将赤道的投影作横坐标轴，用y表示，两轴的交点作为坐标原点，由此构成的平面直角坐标系称为高斯平面直角坐标系，如图1－5（b) 所示。每一个投影带都有一个独立的高斯平面直角坐标系，区分各带坐标系则利用相应投影带的带号。在每一个投影带内，y坐标值都有正有负，这对于计算和使用都不方便，为了使y坐标都为正值，故将纵坐标轴向西平移500㎞，并在y坐标前加上投影带的带号。 6°带投影是从英国格林尼治子午线开始，自西向东，每隔经差6°分为一带，将地球分为60个带，其编号分别为1，2，3，…60。任意带的中央子午线经度为Lo，它与投影带号N的关系如下所示：

Lo=(6N-3°)

式中：N———6°带的带号

离中央子午线越远，长度变形越大，在要求较小的投影变形时，可采用3°投影带。3°带是在6°带的基础上划分的，如图所示。每3°为一带，从东经1°30′开始，共120带，其中央子午线在奇数带时与6°带的中央子午线重合，每带的中央子午线可用下面的工式计算：

Lo=3N′

式中：N′——3°带的带号。

为了避免y坐标出现负值，3°带的坐标原点同6°带一样，向西移动500㎞，并在y坐标前加3°带的带号。

特点应当注意的是，高斯投影没有角度变形，但有长度变形和面积变形，离中央子午线越远，变形就越大。其主要特点有以下三点：

（1）投影后中央子午线为直线，长度不变形，其余经线投影对称并且凹向于中央子午线，离中央子午线越远，变形越大。

（2）赤道的投影也为一直线，并与中央子午线正交，其余的经纬投影为凸向赤道的对称曲线。

（3）经纬投影后仍然保持相互垂直的关系，投影后有角度无变形。

应用用直角坐标原理在投影面上确定地面点平面位置的坐标系：

与数学上的直角坐标系不同的是，它的横轴为Y轴，纵轴为X轴。在投影面上，由投影带中央经线的投影为调轴、赤道投影为横轴（Y轴）以及它们的交点为原点的直角坐标系称为国家坐标系，国家坐标系（national coordinate system）是各国为进行测绘和处理其成果，规定在全国范围内使用统一坐标框架的坐标系统,又称国家大地坐标系。国家大地坐标系是测制国家基本比例尺地图的基础。否则称为独立坐标系。

坐标方法的简单应用：

1.用坐标表示地理位置。

2.用坐标表示平移。

在测量学中使用的平面直角坐标系统**（**rectangular plane coordinate system）包括高斯平面直角坐标系和独立平面直角坐标系。

通常选择：高斯投影平面(在高斯投影时)或测区内平均水准面的切平面(在独立地区测量时)作为坐标平面；纵坐标轴为x轴，向上(向北)为正；横坐标轴为y轴，向右(向东)为正；角度(方位角)从x轴正向开始按顺时针方向量取，象限也按顺时针方向编号。

本词条内容贡献者为:

王海侠 - 副教授 - 南京理工大学