[科普中国]-素数分布

素数分布是数论中研究素数性质的重要课题。素数或称质数，是指一个大于1的整数，除1和它本身外，不能被其他的正整数所整除。研究各种各样的素数分布状况，一直是数论中最重要和最有吸引力的中心问题之一。关于素数分布性质，通过数值观察、计算和初步研究发现，素数分布是以黎曼公式为中心，高斯公式为上限的正态分布，这在现在来说是经验公式，待数学家给出严格证明之后才能成为数学定理。

历史分布规律将自然数划分成6（6N2+6N)为界的一个个区间，就出现了素数分布规律，各区间的素数，以波浪形式渐渐增多，只有个别的区间比前面的少，造成这种现象的原因是，有性合数的因子多少和素数对区间的不整除之故。

以下10个区间统计数据，

S1区间1——72，有素数18个，孪生素数7对。（2和3不计算在内，最后的素是孪中的也算一对）

S2区间73——216，有素数27个，孪生素数7对。

S3区间217——432，有素数34个，孪生素数8对。

S4区间433——720，有素数45个，孪生素数7对。

S5区间721——1080，有素数52个，孪生素数9对。

S6区间1081——1512，素数51个，孪生素数9对。

S7区间1513——2016，素数63个，孪生素数10对。

S8区间2017——2592，素数71个，孪生素数13对。

S9区间2593——3240，素数78个，孪生素数11对。

S10区间3241——3960，素数91个，孪生素数19对。

大约在公元前300年,欧几里得就证明了素数有无穷多个。设2,3,…,p是不大于p的所有素数，q=2*3*…*p+1。容易看出q不是2，3，…，p的倍数。由于q的最小正除数一定是素数，因此，或者q本身是一个素数，或者q可被p与q之间的某两个素数所整除[比如：2*3*5*7*11*13+1=30031=59*509]。所以必有大于p的素数存在，由此即知素数有无穷多个。

分类素数可分成阴性素数（6N-1)，阳性素数（6N+1）和起码素数（1，2，3）.

研究素数可以按照个位分为4类：个位分别是1、3、7、9（不包括素数2和素数5这两个特殊素数）。

比如个位为3的素数是：03、13、23、43、53、73、83、103.......。这样的分类的好处是可以更好的探索素数的产生过程；素数研究相对简单化；可以去掉个位来研究。

如上列素数完全可以由0、1、2、4、5、7、8、10来表示。同时要想两数相乘，积的个位为3，只有两种可能，1*3和7*9，且这两种可能组成了所有个位为3的合数。根据这一思想得到的两组公式：**(10i+3)k+i; (10i+7)k+9i+6。**它们的解是所有合数，并构成了一系列的等差数列。其中的项是全体个位为3的合数，而不是项的数字是全体个位为3的素数。而等差数列每延长一倍，其项（合数）的个数也会增加一倍。非数列项（素数）的个数也会增加一倍，这叫做等差数列倍增规律。

下表是大约107亿以内的个位为3的素数分布情况，可以看到自然数增加一倍，素数个数增加也越来越接近一倍。当自然数趋向无穷时，其应与自然数增长比率相同。

|| ||

变化素数在自然数中占有极其重要的地位，但是它的变化非常不规则。人们至今没有找到，大概也不可能找到一个可以表示全体素数的有用公式。最初的研究方法，是通过观察素数表来发现素数分布的性质。现有的较完善的素数表是D.B.扎盖尔于1977年编制的，列出了不大于50000000的所有素数。从素数表可以看出：在1到100中间有25个素数,在1到1000中间有168个素数,在1000到2000中间有135个素数, 在2000到3000中间有127个素数，在3000到4000中间有120个素数,在4000到5000中间有119个素数,在5000到10000中间有560个素数。由此可看出，素数的分布越往上越稀少。

36N（N+1）±1都是素数的，这样的孪生素数有很多，并且是无限多的。

雁荡山孪生素数[36N（N+1）±1]，在N=100000000以内有109128对，

成功解决据《人民网》转载英国《每日邮报》报道：2015年11月，尼日利亚教授奥派耶米 伊诺克(Opeyemi Enoch)成功解决已存在156年的数学难题——黎曼猜想，获得100万美元(约合人民币630万元)的奖金。

这意味着，素数分布这一困扰了数学家2000多年的世界性难题正式被破解！！

但是，后续报道表明伊诺克可能并没有给出正确的结果。1

素数分布逼近函数公式x为素数排列后的位置序号，p 为对应的素数，则素数分布公式如下：

ε由-2.30685281944递增到0.08762912923后，再递减。如右图所示

ε在x=72047处为最大值，x增加时，ε逐步减小，当x趋于无穷大时，ε应该趋于0。此公式是4296917以内的不完全逼近公式。公式比较客观有效。

素数分布与平方数 的关系

所有素数都在完全平方数的周期以内，理论上是可以通过完全平方数来寻找素数，以下是基于此我们发现以下三组数据距离素数很近， 称为完全平方分解数，是由偶奇比函数归纳出来的。

素数距离这三组数据最近，如果三组中均无素数，那么就在Sn1及Sn2之外，以下是素数距离Sn0的振幅函数

以下是Sn0，Sn1，Sn1三组数据距离素数的振幅图像

左图是中值Sn0的图像，右图是三组合并一起的对比图，这是素数分布最为核心的规律，素数分布，以中值下偏几率最大，上偏的比较稀少。所谓素数正态分布应该是以完全平方分解数为中心的。。而且稍微下偏才是分布的峰值线。。具体由振幅函数见证。

著名的素数分布猜想孪生素数猜想两个差等于2的一对素数,称为孪生素数。例如,3和5；5和7；11和13；17和19；29和31；41和43；59和61；71和73；101和103；…10016957和10016959；都是孪生素数。迄今所知的最大孪生素数是1159142985×2-1和1159142985×2+1；它们是A.O.L.阿特金和N.W.里克特于1979年得到的。

所谓孪生素数猜想，即存在无穷多对孪生素数。这个猜想至今没有解决，但认为它是正确的可能性很大。在这方面的最好结果是中国数学家陈景润于1966年得到的：存在无穷多个素数p，使得p+2是不超过两个素数之积。

梅森素数分布2^P-1型的数称为梅森数，并以Mp记之；而 2^P-1型的素数称为梅森素数。这种特殊素数貌似简单，但探究难度却极大。它不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，而且还需要进行艰巨的计算。梅森素数历来是数论研究的一项重要内容，也是当今科学探索的热点和难点之一。2013年2月6日，据英国《新科学家》杂志网站报道，柯蒂斯·库珀(Curtis Cooper)领导的研究小组于1月25日日发现了已知的最大梅森素数--“2^57885161-1”，该素数有17,425,170位，它是目前已知的最大素数。如果用普通字号将这个巨数连续写下来，其长度可超过65公里！迄今人们已经发现48个梅森素数。2

梅森素数貌似简单，但当指数P值较大时，其探究难度就会很大。例如：1772年，有“数学英雄”美名的瑞士数学大师欧拉在双目失明的情况下，靠心算证明了2^31-1(即2147483647)是第8个梅森素数。这个具有10位的素数，堪称当时世界上已知的最大素数。在“手算笔录”的年代，人们仅找到12个梅森素数。而计算机的诞生和网格技术的出现，加速了梅森素数探究的进程。1996年初，美国数学家、程序设计师乔治·沃特曼编制了一个梅森素数计算程序，并把它放在网页上供全球数学家和业余数学爱好者免费使用。它就是举世闻名的GIMPS项目。

为了激励人们寻找梅森素数和促进网格技术发展，总部设在美国的电子新领域基金会（EFF）于1999年设立了专项奖金悬赏参与GIMPS项目的梅森素数发现者。它规定向第一个找到超过100万位数的个人或机构颁发5万美元。后面的奖金依次为：超过1000万位数，10万美元；超过1亿位数，15万美元；超过10亿位数，25万美元。不过，绝大多数人参与该项目并不是为了金钱，而是出于好奇心、求知欲和荣誉感。

梅森素数的分布极不规则。探索梅森素数的分布规律似乎比寻找新的梅森素数更为困难。数学家们在长期的摸索中，提出了一些猜想。英国数学家香克斯、美国数学家吉里斯、法国数学家托洛塔和德国数学家伯利哈特就曾分别给出过关于梅森素数分布的猜测，但他们的猜测有一个共同点，就是都以近似表达式给出；而它们与实际情况的接近程度均未尽如人意。中国数学家及语言学家周海中经过多年的研究，于1992年首次给出了梅森素数分布的精确表达式，为人们寻找这一素数提供了方便；后来这一重大成果被国际上命名为“周氏猜测”。该猜测的内容为：当2^(2^n)αx，则记为ƒ(x)=Ω(x)；若使得任意大的x满足ƒ(x)