[科普中国]-罗尔中值定理

罗尔（Rolle）中值定理是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一，其他两个分别为：拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西（Cauchy）中值定理。

罗尔定理描述如下：

如果 R 上的函数 f(x) 满足以下条件：（1）在闭区间 [a,b] 上连续，（2）在开区间 (a,b) 内可导，（3）f(a)=f(b)，则至少存在一个 ξ∈(a,b)，使得 f'(ξ)=0。

证明过程证明：因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续，所以存在最大值与最小值，分别用 M 和 m 表示，分两种情况讨论：

1. 若 M=m，则函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上必为常函数，结论显然成立。

2. 若 M>m，则因为 f(a)=f(b) 使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 (a,b) 内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点，又条件 f(x) 在开区间 (a,b) 内可导得，f(x) 在 ξ 处取得极值，由费马引理推知：f'(ξ)=0。

另证：若 M>m ，不妨设f(ξ)=M，ξ∈(a,b)，由可导条件知，f'(ξ+)=0，又由极限存在定理知左右极限均为 0，得证。1

几何意义若连续曲线y=f(x) 在区间 [a,b] 上所对应的弧段 AB，除端点外处处具有不垂直于 x 轴的切线，且在弧的两个端点 A,B 处的纵坐标相等，则在弧 AB 上至少有一点 C，使曲线在C点处的切线平行于 x 轴。1

几种特殊情况**（1）有界开区间上的有界函数**

若函数 在区间 上连续且可导，并有 ，则至少存在一个 ，使得 。

（2）有界区间上的无界函数

若函数 在区间 上连续且可导，并有 （或 ），则至少存在一个 ，使得 。

（3）无界区间上的有界函数

若函数 在区间 上连续且可导，并有 ，则至少存在一个 ，使得 。

（4）无界区间上的无界函数

若函数 在区间 上连续且可导，并有 （或 ），则至少存在一个 ，使得 。

（5）半无界区间上的有界函数

若函数 在区间[ )上连续且可导，并有 ，则至少存在一个 ，使得 。

（6）半无界区间上的无界函数

若函数 在区间[ )上连续且可导，并有 （或 ），则至少存在一个 ，使得 。

证明

这里仅选择特殊情况（2）、（3）加以证明，其余证明的思路大致类似。

定理 若函数 在区间 上连续且可导，并有 。则至少存在一个 ，使得 。1

**证明：**至少可取到一点 ，使 ，否则 恒等于 ，对于任意的实数 ，都有 。

不妨设 ，取 ，显然 。根据极限定义，由 可得

，当 时，有 ， ， ，

任取 ，则有 ， 。

利用 ，类似地可知存在 ，使 。

于是， 在闭区间 上连续，则在闭区间 上必有 的最小值点 ，由于闭区间 的两个端点都不可能是 的最小值点，由此可知 ，根据费马定理可知 。

定理 若函数 在区间 上连续且可导，并有 。则至少存在一个 ，使得 。1

证明： 任取 ，因为 ，所以至少存在一点 ，使 。

类似地由 可知存在一点 ，使 。

这就有了 且 ，

于是， 在闭区间 上连续，则在闭区间 上必有 的最小值点 ，由于闭区间 的两个端点都不可能是 的最小值点，由此可知 ，根据费马定理可知 。

范例解析用罗尔中值定理证明：方程 在 (0,1) 内有实根。

证明： 设

则 F(x) 在 [0,1] 上连续，在 (0,1) 内可导， ，所以由罗尔中值定理，至少存在一点 ，使得 ，所以 ，所以ξ是方程 在 (0,1) 内的一个实根。

结论得证。2

本词条内容贡献者为:

王海侠 - 副教授 - 南京理工大学