[科普中国]-量子非阿贝尔规范场论

规范场论（Gauge Theory）是基于对称变换可以局部也可以全局地施行这一思想的一类物理理论。非交换对称群（又称非阿贝尔群）的规范场论最常见的例子为杨-米尔斯理论。物理系统往往用在某种变换下不变的拉格朗日量表述，当变换在每一时空点同时施行，它们有全局对称性。规范场论推广了这一思想，它要求拉格朗日量必须也有局部对称性—应该可以在时空的特定区域施行这些对称变换而不影响到另外一个区域。这个要求是广义相对论的等效原理的一个推广。

规范“对称性”反映了系统表述的一个冗余性。

规范场论简史最早包含规范对称性的物理理论是詹姆斯·麦克斯韦的电动力学。麦克斯韦在他的论文里特别提出，这理论源自于开尔文男爵于1851年发现的关于磁矢势的数学性质。但是，该对称性的重要性在早期的表述中没有被注意到。大卫·希尔伯特假设在坐标变换下作用量不变，由此推导出爱因斯坦场方程时，但它也没有注意到对称性的重要。之后，赫尔曼·外尔试图统一广义相对论和电磁学，他猜想“Eichinvarianz”或者说尺度（“规范”）变换下的“不变性”可能也是广义相对论的局部对称性。后来发现该猜想将导致某些非物理的结果。但是在量子力学发展以后，外尔、弗拉基米尔·福克和弗里茨·伦敦实现了该思想，但作了一些修改（把缩放因子用一个复数代替，并把尺度变化变成了相位变化—一个U(1)规范对称性），这相应于带电荷的量子粒子其波函数受到电磁场的影响，给定了一个漂亮的解释。这是第一个规范场论。泡利在1940年推动了该理论的传播。

1954年，为了解决一些基本粒子物理中的巨大混乱，杨振宁和罗伯特·米尔斯引入非交换规范场论，来建构将核子绑在原子核中的强相互作用的模型。（Ronald Shaw，在阿卜杜勒·萨拉姆指导下，在他的博士论文中独立地引入了相同的概念。）通过推广电磁学中的规范不变性，他们试图构造基于（非交换的）SU(2)对称群在同位旋质子和中子对上的作用的理论，类似于U(1)群在量子电动力学的旋量场上的作用。在粒子物理中，重点在于量子化规范场论。

该思想后来被发现能够用于弱相互作用的量子场论，以及它和电磁学的电弱统一理论中。当人们意识到非交换规范场论能够导出渐近自由的时候，规范场论变得更有吸引力，因为渐近自由被认为是强相互作用的一个重要特点—因而推动了寻找强相互作用的规范场论的研究。这个理论现在称为量子色动力学，是一个SU(3)群作用在夸克的色荷上的规范场论。标准模型用规范场论的语言统一了电磁力、弱相互作用和强相互作用的表述。

1970年代迈克尔·阿蒂亚爵士提出了研究经典杨-米尔斯方程的数学解的计划。1983年，阿蒂亚的学生西蒙·唐纳森在这个工作之上证明了光滑4-流形的可微性分类和同胚性分类非常不同。麦可·弗里德曼采用唐纳森的工作证明奇异R的存在，也就是，欧几里得4维空间上的奇异微分结构。这导致对于规范场论作为数学理论的兴趣逐渐增加，独立于它在基础物理中的成功。1994年，爱德华·威滕和Nathan Seiberg发明了基于超对称的规范场技术，使得特定拓扑不变量的计算成为可能。这些数学上的成果也导致了对该领域的新兴趣。1

电磁学中的简单的规范对称性的例子电路中接地的定义是规范对称性的一个例子；当线路所有点的电位升高相同的值时，电路的行为完全不变；因为电路中的电位差不变。该事实的一个常见释例是栖息在高压电线上的鸟不会遭电击，因为鸟对地绝缘。

这称为整体规范对称性。电压的绝对值不是真实的；真正影响电路的是电路组件两端的电压差。接地点的定义是任意的，但一旦该点确定了，则该定义必须全局的采用。

相反，如果某个对称性可以从一点到另一点任意的定义，它是一个局域规范对称性。2

非交换几何非交换几何（英语：Noncommutative geometry，简称NCG）为数学的分支领域，内容为非交换代数的几何方法。“空间”的架构在局域上是由函数的非交换代数所代表。非交换代数是一种结合代数，而乘积不是交换性的，亦即不总是等于。更广义地说，这是一种代数结构，其中主要二元运算之一为非交换的。拓朴学或范数等概念可以延伸到非交换几何中。3

杨-米尔斯理论杨-米尔斯理论是一种基于SU(N)群的规范理论。在1953年，沃尔夫冈·泡利最初写下了这类的规范理论，概括了五维的卡鲁扎-克莱因理论。 但他发现到无法让当中的规范玻色子带有质量，所以选择不发表他的成果。

虽然这项成果没有正式写成论文发表，但他在之后的演讲中谈论过这个理论。

1954年，杨振宁与罗伯特·米尔斯写下了现今使用的杨-米尔斯理论，将原本可交换群的规范理论（应用的量子电动力学）拓展到不可交换群，以解释强相互作用，因此又称作非阿贝尔规范场论。最初这个构想并不成功。其原因在于杨-米尔斯理论的量子必须质量为零以维持规范不变性。如果其作用粒子质量为零，则其作用是长程作用力。然而实验上没有观察到长程力的的作用。因此，这个理论在当时并未受到重视。一直到1960年代南部阳一郎、杰弗里·戈德斯通、乔瓦尼·乔纳-拉希尼欧等人开始运用对称性破缺的机制，从零质量粒子的理论中去得到带质量的粒子，杨-米尔斯理论的重要性才显现出来。3

参阅杨-米尔斯存在性与质量间隙

阿哈罗诺夫－玻姆效应

弱电相互作用

标准模型

卡鲁扎-克莱因理论

物理中的对称性

洛伦茨规范

量子色动力学

BPST瞬子

量子规范理论

规范共变导数

库仑规范

杨-米尔斯-希格斯方程组

本词条内容贡献者为:

王海侠 - 副教授 - 南京理工大学