[科普中国]-诱导公式

诱导公式是指三角函数中将角度比较大的三角函数利用角的周期性，转换为角度比较小的三角函数的公式。 诱导公式有六组共54个。

定义常用的诱导公式有以下六组：12

公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等。

设α为任意锐角，弧度制下的角的表示：

角度制下的角的表示：

sin (α+k·360°)=sinα（k∈Z）.

cos(α+k·360°)=cosα（k∈Z）.

tan (α+k·360°)=tanα（k∈Z）.

cot（α+k·360°）=cotα （k∈Z）.

sec（α+k·360°）=secα （k∈Z）.

csc（α+k·360°）=cscα （k∈Z）.3

公式二π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系。

设α为任意角，弧度制下的角的表示：

sin（π+α）=－sinα.

cos（π+α）=－cosα.

tan（π+α）=tanα.

cot（π+α）=cotα.

sec（π+α）=－secα.

csc（π+α）=－cscα.

角度制下的角的表示：

sin（180°+α）=－sinα.

cos（180°+α）=－cosα.

tan（180°+α）=tanα.

cot（180°+α）=cotα.

sec（180°+α）=－secα.

csc（180°+α）=－cscα.3

公式三任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：

sin（－α）=－sinα.

cos（－α）=cosα.

tan（－α）=－tanα.

cot（－α）=－cotα.

sec（－α）=secα.

csc (－α）=－cscα.

公式四利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：

弧度制下的角的表示：

sin（π－α）=sinα.

cos（π－α）=－cosα.

tan（π－α）=－tanα.

cot（π－α）=－cotα.

sec（π－α）=－secα.

csc（π－α）=cscα.

角度制下的角的表示：

sin（180°－α）=sinα.

cos（180°－α）=－cosα.

tan（180°－α）=－tanα.

cot（180°－α）=－cotα.

sec（180°－α）=－secα.

csc（180°－α）=cscα.3

公式五利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：

弧度制下的角的表示：

sin（2π－α）=－sinα.

cos（2π－α）=cosα.

tan（2π－α）=－tanα.

cot（2π－α）=－cotα.

sec（2π－α）=secα.

csc（2π－α）=－cscα.

角度制下的角的表示：

sin（360°－α）=－sinα.

cos（360°－α）=cosα.

tan（360°－α）=－tanα.

cot（360°－α）=－cotα.

sec（360°－α）=secα.

csc（360°－α）=－cscα.3

公式六π/2±α 及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：（⒈～⒋）

⒈π/2+α与α的三角函数值之间的关系

弧度制下的角的表示：

sin（π/2+α）=cosα.

cos（π/2+α）=—sinα.

tan（π/2+α）=－cotα.

cot（π/2+α）=－tanα.

sec（π/2+α）=－cscα.

csc（π/2+α）=secα.

角度制下的角的表示：

sin（90°+α）=cosα.

cos（90°+α）=－sinα.

tan（90°+α）=－cotα.

cot（90°+α）=－tanα.

sec（90°+α）=－cscα.

csc（90°+α）=secα.3

⒉ π/2－α与α的三角函数值之间的关系

弧度制下的角的表示：

sin（π/2－α）=cosα.

cos（π/2－α）=sinα.

tan（π/2－α）=cotα.

cot（π/2－α）=tanα.

sec（π/2－α）=cscα.

csc（π/2－α）=secα.

角度制下的角的表示：

sin (90°－α)=cosα.

cos (90°－α)=sinα.

tan (90°－α)=cotα.

cot (90°－α)=tanα.

sec (90°－α)=cscα.

csc (90°－α)=secα.3

⒊ 3π/2+α与α的三角函数值之间的关系

弧度制下的角的表示：

sin（3π/2+α）=－cosα.

cos（3π/2+α）=sinα.

tan（3π/2+α）=－cotα.

cot（3π/2+α）=－tanα.

sec（3π/2+α）=cscα.

csc（3π/2+α）=－secα.

角度制下的角的表示：

sin（270°+α）=－cosα.

cos（270°+α）=sinα.

tan（270°+α）=－cotα.

cot（270°+α）=－tanα.

sec（270°+α）=cscα.

csc（270°+α）=－secα.3

⒋ 3π/2－α与α的三角函数值之间的关系12

弧度制下的角的表示：

sin（3π/2－α）=－cosα.

cos（3π/2－α）=－sinα.

tan（3π/2－α）=cotα.

cot（3π/2－α）=tanα.

sec（3π/2－α）=－cscα.

csc（3π/2－α）=－secα.

角度制下的角的表示：

sin（270°－α）=－cosα.

cos（270°－α）=－sinα.

tan（270°－α）=cotα.

cot（270°－α）=tanα.

sec（270°－α）=－cscα.

csc（270°－α）=－secα.3

记忆规律公式一到公式五函数名未改变， 公式六函数名发生改变。

公式一到公式五可简记为：函数名不变，符号看象限。即α+k·360°（k∈Z），﹣α，180°±α，360°－α的三角函数值，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。4

上面这些诱导公式可以概括为：对于kπ/2±α(k∈Z)的三角函数值，

①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；

②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan。（奇变偶不变）然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。（符号看象限）

例如：

sin(2π－α)=sin(4·π/2－α)，k=4为偶数，所以取sinα。

当α是锐角时，2π－α∈(270°，360°)，sin(2π－α)