[科普中国]-曲面积分

定义在曲面上的函数或向量值函数关于该曲面的积分。曲面积分一般分成第一型曲面积分和第二型曲面积分。

第一型曲面积分物理意义来源于对给定密度函数的空间曲面，计算该曲面的质量。第二型曲面积分物理意义来源对于给定的空间曲面和流体的流速，计算单位时间流经曲面的总流量。

第一型曲线积分定义设 为空间中的曲面， 为定义在 上的函数．对曲面 作分割 ，它把分成 个可求面积的小曲面片 ， 的面积记为 ，分割 的细度为 ，在 上任取一点 , 若存在极限

且它的值与分割及点的取法无关，则称此极限 为 在 上的第一型曲线积分1，记为

或者简写成 。

第一型曲面积分的计算设空间曲面S的方程为 ， ，其中 为曲面S在 平面上的投影域，函数 在曲面S上连续，如果 在 上有连续的一阶偏导数，则有

其中 是 在 上的投影域， 和 表示在 内某点 处的两个偏导数。由第一型曲面积分的定义，于是将第一型曲面积分化为二重积分的计算1

物理意义 表示以 为面密度的空间曲面S的“质量”，即将空间曲面S想象成一块光滑的（可微的）不折叠的（单值的）质量分布服从 的薄板，故 在S上的第一型曲面积分就是薄板的代数质量2。

第二型曲线积分设 为空间中的曲面， 为定义在 上的函数．对曲面作分割 ，它把分成个可求面积的小曲面片 ， 分别代表 在三个坐标面的投影面积。分割的细度为 ，在 上任取一点 , 若存在极限

且它的值与分割及点的取法无关，则称此极限 为 在 上的第二型曲线积分1，记为

或者简写成 。

第二型曲面积分的计算设空间曲面S的方程为 ， ，其中 为曲面S在 平面上的投影域，函数 在曲面S上连续，如果 在 上有连续的一阶偏导数，则有

物理意义 表示以为空间流体的流速场，单位时间流经曲面的总流量2。

本词条内容贡献者为:

孙和军 - 副教授 - 南京理工大学