[科普中国]-重尾分布

简介

重尾分布又可以分为两个子类型，分别是长尾分布（long-tailed distributions）以及次指数分布（subexponential distributions）。

定义在一个累积分布函数中，一个随机变量X 的分布状况，在以下状况时，被称为是一个重尾分布。假设：

如果以尾部分布函数的方式来呈现时，

最后可以被写成：

这相当于一个动差生成函数， ，对所有的t>0 来说，都是无限的。重尾分布的左尾，与双尾分布，定义相同1。

解释重尾分布意味着可以更大的概率获得很大的值. 因此与弱随机性相反，重尾分布一般表示病态，增加的各种结果被确定为具有重尾分布，包括收入分布、财务报告、保险支出、网页的参考链接等。重尾分布的一个特殊的子集是幂律，其意味着概率密度函数是一个幂。 一个技术难题是，不是所有的矩存在于这些分布，这一般意味着它们使用分位数和其它顺序统计学。这也就是说，中心极限定理不再成立。但是对于诸如均值，即稳定分布的线性组合，我们获得一个新的标准极限分布。

设X是一个随机变量， 为它的分布函数，如果当 时 称X的分布为重尾分布，又称幂律分布。

一般来说，服从重尾分布的随机变量X具有较大甚至是无穷大的方差，而且当 时，X的均值也是无穷的。随机变量X会以不可忽略的概率取到非常大的数值，即：大量的小抽样取值和少量的大抽样取值并存。

分类1.长尾分布在一个累积分布函数中，一个随机变量X的分布，出现以下状况时，被称为是一个长尾分布。假设对所有t>0 ：

这相等于

对一个右尾部形成长尾分布的状况，我们可以做一个直观的解释：假如一个长尾分布的尾部数量超过某个很高的水准，它超过另一个更高水准的机率会接近于一。也就是说，如果你发现状况很糟，它可能会比你想像的还要糟。

长尾分布是重尾分布中的一个特例。所有的长尾分布都是重尾分布，但反之则不然，也就是说，我们可以找出某一个重尾分布，它不是长尾分布。

次指数分布次指数分布是以概率分布的折积定义出来的。两个独立、不同的随机变数的共同分布函数 ，它自己的折积定义为，使用勒贝格-史台杰斯积分（Lebesgue–Stieltjes integration） 定义为：

n-fold折积的 也以同样方式定义。其尾端分布函数定义为{。

当以下式子成立，概率分布函数在正的中线上，被定义为次指数分布：

这也意味着，对所有来说：