[科普中国]-非标准模型

假定 是一个 数学结构，所有在 中成真的语句 的集合称作 的完全理论，记作 。它是在语言 中的一个理论。显然 是它的一个模型。而它的与 不同结构的模型则称作 的非标准模型。

最有名的非标准模型是佩亚诺算术（Peano arithmetic）的非标准模型。佩亚诺算术的理论是自然数集 的理论。这里 +，·就是通常的自然数的加法和乘法，S 是后继函数，0 为通常的整数 0。 是佩亚诺算术的标准模型，而与 不同构的佩亚诺算术的模型即为它的非标准模型。1

[model]

一个模型 就是一个 数学结构。假如 是 公式。如果存在 使得 在 中为真，记作 ，就称 是 的一个模型。如果 为一理论（语句的集合），而对一切 ，都有 ，则称 是 的一个模型，记作 。

非标准模型虽然不是人们所期望的，但是它们有时却有着非常重要的应用。开发理论的非标准模型以求得对自然模型（即人们所真正关心的模型）的性质的了解或对理论本身性质的了解的学问被J.L.贝尔和M.麦克弗称作“非标准分析”。

① C.赖尔-纳尔德泽夫斯基在1952年利用上述皮亚诺算术理论PA的非标准模型证明了PA不可有穷公理化，亦即PA中的数学归纳公理模式不能用有限条特例代替。

② A. 鲁宾孙在1961年前后利用上述非标准分析方法开发完全理论Th(R)的非标准模型,为古典数学分析中的“无穷小量”和“无穷大量”方法提供了坚固和严格的基础，甚至形成了一门新兴的学科，称为“非标准分析”，更确切地说应做“非标准数学分析”。

③近年来不少逻辑工作者用算术的非标准模型来给出数学命题的独立性（即形式不可判定性）证明，其中最著名的是J.帕里斯和L.哈林顿。他们利用皮亚诺算术的非标准模型证明了，图论中的一个命题也就是拉姆齐定理的一个加强形式在皮亚诺算术中是形式不可判定的，因而给出了哥德尔在1931年得到的著名的不完备性定理的一个语义证明(哥德尔本人给出的证明是语法的)。此外，与哥德尔给出的人为的不可判定命题相比，帕里斯和哈林顿所得的不可判定命题是有着深刻数学意义的命题。