[科普中国]-线性控制系统

简介定义

系统是指确定的物理系统。例如飞机的自动驾驶系统、锅炉的水位调节系统等，它们都是完成预定的任务由一些物理部件组合起来的一个集合体。控制系统就是使用控制手段所实现的物理系统。

按照对系统的输入、输出关系，一个系统可以分为线性系统或非线性系统。如果一个系统的输入、输出满足叠加原理，该系统称为线性系统，否则为非线性系统。叠加原理包括叠加性及齐次性。例如，系统输入u，输出y的关系为y=Hu，如满足叠加原理：

其中u1、u2为任意两输入，a为任意实数。H是某一算子或函数，它按照系统的输入u唯一规定系统的输出y。1

类别线性系统又分为时变系统和时不变系统两类。如果系统的动态特性只与控制过程的时间间隔有关，而与具体的初始时刻和终止时刻无关，则该系统称为时不变系统，又称定常系统；如果系统的动态特性与控制系统的初始时刻及终止时刻有关，则该系统称为时变系统，也称非定常系统。 1

研究意义研究线性系统理论的重要性在于：线性系统理论是现代控制理论中最基础部分，也是最成熟的部分，它有完整的理论和设计、计算方法；线性系统理论在应用中起着较大的作用，大多数在正常运行范围内工作的系统，均能用线性模型来描述；线性系统理论是研究非线性系统理论的基础。1

控制理论的发展在控制理论的发展过程中，依据对控制系统描述的数学方法不同而形成两大类：经典控制理论及现代控制理论。经典控制理论是通过传递函数来表达系统的输入—输出关系的，主要的分析和综合方法是：频率响应法及根轨迹法，并且对单输入—单输出线性定常系统的分析和综合是有效的。该理论有两个局限性：第一，它只能描述单输入—单输出定常系统，难于处理多输入—多输出系统；第二，它只能表现系统输入—输出关系，而对系统内部结构不能提供任何信息，难以揭示系统更深刻的特性。客观上，现代控制系统要求有一种完善的控制理论，计算机技术的进步又为控制理论的发展创造了条件，于是产生了一种描述系统的新的数学方法——状态空间法。状态空间法是建立在状态变量概念上的，称为现代控制理论。

现代控制理论与经典控制理论比较，它适用范围广，可用于单输入—单输出系统或多输入—多输出系统，线性或非线性系统，时不变系统或时变系统。现代控制理论可以设计出最优控制规律，使系统的性能指标最佳。它是时域分析方法，对控制过程是直接的，也可以考虑任意初始条件。

现代控制理论从50年代中、后期开始发展，目前已形成了若干分支，其中主要有线性系统理论、最优控制理论、最佳估计理论、系统辨识、自适应控制及大系统理论等。

就线性系统理论来说，由于采用的数学工具和采用的系统描述的不同，又分成若干平行分支，如线性系统的状态空间法、线性系统的几何理论、线性系统的代数理论等。状态空间法是线性理论中一个最重要和影响最广的分支。1

线性系统的数学描述研究线性系统理论，首先要建立能反映实际物理系统特性的数学模型。由于所要解决的问题不同，所用的分析方法不同，描述同一系统的数学表达式也不相同。介绍描述控制系统的两种数学模型，即输入—输出描述和状态变量描述。通过等价变换，可改变系统动态方程的形式。

系统的输入—输出描述系统的输入—输出描述给出了系统的输入和输出的关系。

一、线性时变系统

设有多输入—多输出控制系统，如图所示。该系统有p个输入端，q个输出端。

若系统的输入端和输出端均为1，即p=q=1，该系统称为单变量系统，否则称为多变量系统。

系统的输入—输出描述给出了系统的输入与输出之间的数学关系式，依据系统的输入与输出来推导这种描述时，无须知道系统内部结构。这种情况下，可把系统看作是一个"黑箱"。可以向黑箱施加各种类型的输入并测量相应的输出，从输入，输出数据中找出反映系统重要特性的规律。

利用脉冲函数的概念，容易求得系统的输入—输出关系。如图所示的脉动函数方程

ti为某一特定时刻。当Δ趋于零时，δΔ(t-ti)的极限δΔ(t-ti)≌limδΔ(t-ti) 称为脉冲函数，或称Diracδ函数，简称δ函数。δ函数有以下性质：

(1)对于任何正的小数ε，有

(2)对在ti连续的任何函数f(t)，有

设单变量系统的输入—输出关系为y=Hu,用脉冲函数近似输入Hu，如图所示，输入“可闸一系列的脉动函数来近似，当Δ趋于零时，即

上式表明，系统的输出响应可以用脉冲响应函数和输入的卷积表示。

若系统是具有p个输入和q个输出的多输入—多输出系统，则式(1—1)可相应地推广为

G(t,τ)称为系统的脉冲响应矩阵。1

二、线性定常系统

单输入—单输出线性定常系统脉冲响应函数与具体的t、τ值无关，只与t-τ之差有关。于是输入—输出关系由式简化为

同理，多输入一多输出线性定常系统的脉冲响应矩阵为G(t-τ)，输入一输出关系由式简化为

状态变量描述状态变量描述不仅能描述系统输入与输出之间的关系，而且在任意初始条件下，能揭示系统内部的行为，因此它是一种完全的描述，又称内部描述。

一个物理系统可以用不同的方法来描述，例如用高阶微分方程、传递函数、方框图、结构图等。

能完全表征系统时域行为的一组相互独立的变量，称为系统的状态。组成这个变量组的变量x1(t),x2(t)......xn(t)称为状态变量。

由状态变量构成的列向量称为系统的状态向量，也简称状态。以变量组的n个互相独立的状态变量x1(t),x2(t)......xn(t)作为坐标轴而构造出来的n维空间叫做状态空间。状态空间是状态向量取值的一个向量空间。系统某一时刻的状态是空间中的一个点，状态随时间的变化过程，构成了状态空间中的一条轨线。

描述系统输入、输出和状态向量之间关系的方程称为动态方程。对线性系统，其动态方程一般表示为

其中第一式是描述系统状态变化率的向量—矩阵微分方程，称为状态方程。第二式是描述系统输出与系统状态之间关系的方程，称做输出方程。u表示外部对系统的控制，称为输入向量。y是从外部量测系统运动状态的量，称为输出向量。若x，u，y是维数分别为n,r,m的列向量，则矩阵A(t)，B(t)，C(t)，D(t)分别具有的相应阶数为n×n，n×r，m×n，m×r。它们的元素是时间t的连续函数。该式称为线性时变动态方程。A(t)称为系统矩阵，B(t)称为输入矩阵，C(t)为输出矩阵，D(t)为前馈矩阵。矩阵D(t)表示从输入u到输出y的直接传递部分，为分析简便，常令D(t)=n。状态变量x1(t),x2(t)......xn(t的个数n就是系统的维数。若方程中系数矩阵A，B，C，D不随时间变化，则方程为线性定常动态方程。1