[科普中国]-湍流模型

湍流的特点

湍流是不规则、多尺度、有结构的流动，一般是三维、非定常的，具有很强的扩散性和耗散性。从物理结构上看，湍流是由各种不同尺度的带有旋转结构的涡叠合而成的流动，这些涡的大小及旋转轴的方向分布是随机的。大尺度的涡主要由流动的边界条件决定，其尺寸可以与流场的大小相比拟，它主要受惯性影响而存在，是引起低频脉动的原因；小尺度的涡主要是由粘性力决定，其尺寸可能只有流场尺度的千分之一的量级，是引起高频脉动的原因。大尺度的涡破裂后形成小尺度的涡，较小尺度的涡破裂后形成更小尺度的涡。在充分发展的湍流区域内，流体涡的尺寸可在相当宽的范围内连续变化。大尺度的涡不断地从主流获得能量，通过涡间的相互作用，能量逐渐向小尺寸的涡传递。最后由于流体粘性的作用，小尺度的涡不断消失，机械能就转化为流体的热能。同时由于边界的作用、扰动及速度梯度的作用，新的涡旋又不断产生，湍流运动得以发展和延续。

相比于一般湍流，旋转湍流中的旋转效应改变了近壁湍流脉动旋度，圆周方向湍流强度增强。在流体机械，由于强旋转、大曲率和多壁面的共同影响，旋转湍流的各向异性特性更加突出，更容易产生流动分离，在叶片表面存在更大范围的强剪切流动，甚至是由层流到湍流的转捩流动。2

湍流计算方法无论湍流运动多么复杂，非稳态的连续方程和Navier-Stokes方程对于湍流的瞬时运动仍然是适用的。但是，湍流所具有的强烈瞬态性和非线性使得与湍流三维时间相关的全部细节无法用解析的方法精确描述，况且湍流流动的全部细节对于工程实际来说意义不大，因为人们所关心的经常是湍流所引起的平均流场变化。这样，就出现了对湍流进行不同简化处理的数学计算方法。其中，最原始的方法是基于统计平均或其他平均方法建立起来的时均化模拟方法。但这种基于平均方程与湍流模型的研究方法只适用于模拟小尺度的湍流运动，不能够从根本上解决湍流计算问题。为了使湍流计算更能反映不同尺度的旋涡运动，研究人员后来又发展了大涡模拟、分离涡模拟与直接数值模拟等方法。总体来说，湍流的计算方法主要分为3类: 雷诺时均模拟、尺度解析模拟和直接数值模拟。其中，前2类方法可看成是非直接数值模拟方法。

雷诺时均模拟方法雷诺时均模拟方法是指在时间域上对流场物理量进行雷诺平均化处理，然后求解所得到的时均化控制方程。比较常用的模型包括Spalart-Allmaras模型、k-ε模型、k-ω模型和雷诺应力模型等。雷诺时均模拟方法计算效率较高，解的精度也基本可以满足工程实际需要，是流体机械领域使用最为广泛的湍流数值模拟方法。

尺度解析模拟方法尺度解析模拟方法是指对流场中一部分湍流进行直接求解，其余部分通过数学模型来计算。比较常用的模型包括大涡模拟、尺度自适应模拟、分离涡模拟和嵌入式大涡模拟等。这种方法对流场计算网格要求较高，特别是近壁区的网格密度要远大于雷诺时均法，因此所需要的计算机资源较大，但在求解瞬态性和分离性比较强的流动，特别是流体机械偏离设计工况的流动时具有优势。

直接数值模拟方法直接数值模拟方法(Direct numerical simulation，DNS) 是直接用瞬态Navier-Stokes方程对湍流进行计算，理论上可以得到准确的计算结果。但是，在高雷诺数的湍流中包含尺度为10 ～ 100 μm的涡，湍流脉动的频率常大于10 k Hz，只有在非常微小的空间网格长度和时间步长下，才能分辨出湍流中详细的空间结构及变化剧烈的时间特性。对于这样的计算要求，现有的计算机能力还是比较困难的，DNS目前还无法用于真正意义上的工程计算。但是，局部时均化模型为开展DNS模拟提供了一种间接方法。该模型是一种桥接模型，通过控制模型参数可以实现从雷诺时均模拟到接近DNS的数值计算，是一种有着发展潜力的计算模型。2

简介湍流模型，封闭方程组。

模型分类常用的湍流模型可根据所采用的微分方程数进行分类为：零方程模型、一方程模型、两方程模型、四方程模型、七方程模型等。对于简单流动而言，一般随着方程数的增多，精度也越高，计算量也越大、收敛性也越差。但是，对于复杂的湍流运动，则不一定。

三种方法1、平均N-S方程的求解。

2、大涡模拟（LES）。

3、直接数值模拟（DNS）。

但是由于叶轮机械内部结构的复杂性以及计算机运算速度较慢，大涡模拟和直接数值模拟还很少用于叶轮机械内部湍流场的计算，更多的是通过求解平均N-S方程来进行数值模拟。因为平均N-S方程的不封闭性，人们引入了湍流模型来封闭方程组，所以模拟结果的好坏很大程度上取决于湍流模型的准确度。自70年代以来，湍流模型的研究发展迅速，建立了一系列的零方程、一方程、两方程模型和二阶矩模型，已经能够十分成功的模拟边界层和剪切层流动。但是，对于复杂的工业流动，比如航空发动机中的压气机动静叶相互干扰问题，大曲率绕流，激波与边界层相互干扰，流动分离，高速旋转以及其他一些原因，常常会改变湍流的结构，使那些能够预测简单流动的湍流模型失效，所以完善现有湍流模型和寻找新的湍流模型在实际工作中显得尤为重要。3

模型理论湍流模式理论或简称湍流模型。湍流运动物理上近乎无穷多尺度漩涡流动和数学上的强烈非线性，使得理论实验和数值模拟都很难解决湍流问题。虽然N-S方程能够准确地描述湍流运动的细节，但求解这样一个复杂的方程会花费大量的精力和时间。实际上往往采用平均N-S方程来描述工程和物理学问题中遇到的湍流运动。当我们对三维非定常随机不规则的有旋湍流流动的N-S方程平均后，得到相应的平均方程，此时平均方程中增加了六个未知的雷诺应力项 ，从而形成了湍流基本方程的不封闭问题。根据湍流运动规律以寻找附加条件和关系式从而使方程封闭就促使了几年来各种湍流模型的发展，而且在平均过程中失去了很多流动的细节信息，为了找回这些失去的流动信息，也必须引入湍流模型。虽然许多湍流模型已经取得了某些预报能力，但至今还没有得到一个有效的统一的湍流模型。同样，在叶轮机械内流研究中，如何找到一种更合适更准确的湍流模型也有待于进一步研究。

模型理论的思想可追溯到100多年前，为了求解雷诺应力使方程封闭，早期的处理方法是模仿粘性流体应力张量与变形率张量关联表达式，直接将脉动特征速度与平均运动场中速度联系起来。十九世纪后期，Boussinesq提出用涡粘性系数的方法来模拟湍流流动，通过涡粘度将雷诺应力和平均流场联系起来，涡粘系数的数值用实验方法确定。到二次世界大战前，发展了一系列的所谓半经验理论，其中包括得到广泛应用的普朗特混合长度理论，以及G.I泰勒涡量传递理论和Karman相似理论。他们的基本思想都是建立在对雷诺应力的模型假设上，使雷诺平均运动方程组得以封闭。1940年，我国流体力学专家周培源教授在世界上首次推出了一般湍流的雷诺应力输运微分方程；1951年在西德的Rotta又发展了周培源先生的工作，提出了完整的雷诺应力模型。他们的工作现在被认为是以二阶封闭模型为主的现代湍流模型理论的最早奠基工作。但因为当时计算机水平的落后，方程组实际求解还不可能。70年代后期，由于计算机技术的飞速发展，周培源等人的理论重新获得了生命力，湍流模型的研究得到迅速发展。建立的一系列的两方程模型和二阶矩模型，已经能十分成功地模拟边界层和剪切层流动，但是对于复杂的工业流动，比如大曲率绕流，旋转流动，透平叶栅动静叶互相干扰等，这些因素对湍流的影响还不清楚，这些复杂流动也构成了进入二十一世纪后学术上和应用上先进湍流模型的研究。

湍流模型可根据微分方程的个数分为零方程模型、一方程模型、二方程模型和多方程模型。这里所说的微分方程是指除了时均N-S方程外，还要增加其他方程才能是方程封闭，增加多少个方程，则该模型就被成为多少个模型。下面分别介绍各种湍流模型的研究现状和进展

常见模型零方程模型：C-S模型，由Cebeci-Smith给出；B-L模型，由Baldwin-Lomax给出。

一方程模型：来源由两种，一种从经验和量纲分析出发，针对简单流动逐步发展起来，如Spalart-Allmaras(S-A)模型；另一种由二方程模型简化而来，如Baldwin-Barth(B-B)模型。

二方程模型：应用比较广泛的两方程模型有Jones与Launder提出的标准k-e模型，以及k-omega模型。

另外还有雷诺应力模型。

选择原则湍流模型选取的准则：流体是否可压、建立特殊的可行的问题、精度的要求、计算机的能力、时间的限制。为了选择最好的模型，你需要了解不同条件的适用范围和限制。

FLUENT软件中提供以下湍流模型：1Spalart-Allmaras 模型；2k-ε模型；3k-ω模型；4 雷诺应力模型（RSM）；5 大涡模拟模型（LES）。

1 Spalart-Allmaras模型应用范围：

Spalart-Allmaras模型是设计用于航空领域的，主要是墙壁束缚（wall-bounded）流动，而且已经显示出很好的效果。在透平机械中的应用也愈加广泛。在湍流模型中利用Boussinesq逼近，中心问题是怎样计算漩涡粘度。这个模型被Spalart-Allmaras提出，用来解决因湍流动粘滞率而修改的数量方程。

模型评价：

Spalart-Allmaras模型是相对简单的单方程模型，只需求解湍流粘性的输运方程，不需要求解当地剪切层厚度的长度尺度；由于没有考虑长度尺度的变化，这对一些流动尺度变换比较大的流动问题不太适合；比如平板射流问题，从有壁面影响流动突然变化到自由剪切流，流场尺度变化明显等问题。

Spalart-Allmaras模型中的输运变量在近壁处的梯度要比k-ε中的小，这使得该模型对网格粗糙带来数值误差不太敏感。

Spalart-Allmaras模型不能断定它适用于所有的复杂的工程流体。例如不能依靠它去预测均匀衰退，各向同性湍流。

2 k-ε模型

① 标准的k-ε模型：

最简单的完整湍流模型是两个方程的模型，要解两个变量，速度和长度尺度。在FLUENT中，标准k-ε模型自从被Launder and Spalding提出之后，就变成工程流场计算中主要的工具了。适用范围广、经济、合理的精度。它是个半经验的公式，是从实验现象中总结出来的。

湍动能输运方程是通过精确的方程推导得到，耗散率方程是通过物理推理，数学上模拟相似原型方程得到的。

应用范围：该模型假设流动为完全湍流，分子粘性的影响可以忽略，此标准κ-ε模型只适合完全湍流的流动过程模拟。

② RNG k-ε模型：

RNG k-ε模型来源于严格的统计技术。它和标准k-ε模型很相似，但是有以下改进：

a、RNG模型在ε方程中加了一个条件，有效的改善了精度。

b、考虑到了湍流漩涡，提高了在这方面的精度。

c、RNG理论为湍流Prandtl数提供了一个解析公式，然而标准k-ε模型使用的是用户提供的常数。

d、标准k-ε模型是一种高雷诺数的模型，RNG理论提供了一个考虑低雷诺数流动粘性的解析公式。这些公式的作用取决于正确的对待近壁区域。

这些特点使得RNG k-ε模型比标准k-ε模型在更广泛的流动中有更高的可信度和精度。

③ 可实现的k-ε模型：

可实现的k-ε模型是才出现的，比起标准k-ε模型来有两个主要的不同点：

·可实现的k-ε模型为湍流粘性增加了一个公式。

·为耗散率增加了新的传输方程，这个方程来源于一个为层流速度波动而作的精确方程。

术语“realizable”，意味着模型要确保在雷诺压力中要有数学约束，湍流的连续性。

应用范围：

可实现的k-ε模型直接的好处是对于平板和圆柱射流的发散比率的更精确的预测。而且它对于旋转流动、强逆压梯度的边界层流动、流动分离和二次流有很好的表现。

可实现的k-ε模型和RNG k-ε模型都显现出比标准k-ε模型在强流线弯曲、漩涡和旋转有更好的表现。由于带旋流修正的k-ε模型是新出现的模型，所以还没有确凿的证据表明它比RNG k-ε模型有更好的表现。但是最初的研究表明可实现的k-ε模型在所有k-ε模型中流动分离和复杂二次流有很好的作用。

该模型适合的流动类型比较广泛，包括有旋均匀剪切流，自由流（射流和混合层），腔道流动和边界层流动。对以上流动过程模拟结果都比标准k-ε模型的结果好，特别是可再现k-ε模型对圆口射流和平板射流模拟中，能给出较好的射流扩张。4

模型评价可实现的k-ε模型的一个不足是在主要计算旋转和静态流动区域时不能提供自然的湍流粘度，这是因为可实现的k-ε模型在定义湍流粘度时考虑了平均旋度的影响。这种额外的旋转影响已经在单一旋转参考系中得到证实，而且表现要好于标准k-ε模型。由于这些修改，把它应用于多重参考系统中需要注意。

3 k-ω模型

① 标准的k-ω模型：

标准的k-ω模型是基于Wilcox k-ω模型，它是为考虑低雷诺数、可压缩性和剪切流传播而修改的。标准的k-ε模型的一个变形就是SST k-ω模型，它在FLUENT中也是可用的

应用范围：

Wilcox k-ω模型预测了自由剪切流传播速率，像尾流、混合流动、平板绕流、圆柱绕流和放射状喷射，因而可以应用于墙壁束缚流动和自由剪切流动。

② SST k-ω模型：

SST k-ω模型由Menter发展，以便使得在广泛的领域中可以独立于k-ε模型，使得在近壁自由流中k-ω模型有广泛的应用范围和精度。为了达到此目的，k-ε模型变成了k-ω公式。SST k-ω模型和标准的k-ω模型相似，但有以下改进：

·SST k-ω模型和k-ε模型的变形增长于混合功能和双模型加在一起。混合功能是为近壁区域设计的，这个区域对标准的k-ω模型有效，还有自由表面，这对k-ε模型的变形有效。

·SST k-ω模型合并了来源于ω方程中的交叉扩散。

·湍流粘度考虑到了湍流剪应力的传播。

·模型常量不同。

这些改进使得SST k-ω模型比标准k-ω模型在广泛的流动领域中有更高的精度和可信度。

③ 两个模型的对比

两种模型有相似的形式，有方程k和ω。SST和标准模型的不同之处是：

·从边界层内部的标准k-ω模型到边界层外部的高雷诺数的k－e模型的逐渐转变。

·考虑到湍流剪应力的影响修改了湍流粘性公式。

4 RSM模型

雷诺应力模型

①GLCraft

Gibson - Launder Reynolds Stress Model with Craft wall reflection terms.

②GLWR

Gibson - Launder Reynolds Stress Model with standard wall reflection terms.

③GLnoWR

Gibson - Launder Reynolds Stress Model without standard wall reflection terms.

④SSG

Speziale - Sarkar - Gatski Reynolds stress model.5