[科普中国]-特征函数

定义

在概率论中，任何随机变量的特征函数(缩写：ch.f,复数形式：ch.f's)完全定义了它的概率分布。在实直线上，它由以下公式给出，其中X是任何具有该分布的随机变量：

其中t是一个实数，i是虚数单位，E表示期望值。

用矩母函数MX（t）来表示（如果它存在），特征函数就是iX的矩母函数，或X在虚数轴上求得的矩母函数。

与矩母函数不同，特征函数总是存在。

如果FX是累积分布函数，那么特征函数由黎曼-斯蒂尔切斯积分给出：

如果随机变量的概率密度函数存在，概率密度函数为，上述积分可以简化为：

其中是随机变量X的概率密度函数。

如果X是一个向量值随机变量，我们便取自变量t为向量，tX为数量积。1

性质特征函数具有以下基本性质：

勒维连续定理如果两个随机变量具有相同的特征函数，那么它们具有相同的概率分布； 反之， 如果两个随机变量具有相同的概率分布， 它们的特征函数也相同(显然)。

独立随机变量和的特征函数等于每个随机变量特征函数的乘积。1

反演定理在累积概率分布函数与特征函数之间存在双射。也就是说，两个不同的概率分布不能有相同的特征函数。

给定一个特征函数φ，可以用以下公式求得对应的累积概率分布函数F：

。

一般地，这是一个广义积分；被积分的函数可能只是条件可积而不是勒贝格可积的，也就是说，它的绝对值的积分可能是无穷大。2

博赫纳-辛钦定理/公理化定义任意一个函数是对应于某个概率律的特征函数，当且仅当满足以下三个条件：

是连续的；

；

是一个正定函数（注意这是一个复杂的条件，与不等价）。

计算性质特征函数对于处理

特征函数对于处理独立随机变量的函数特别有用。例如，如果X1、X2、……、Xn是一个独立（不一定同分布）的随机变量的序列，且

其中ai是常数，那么Sn的特征函数为：

特别地，。这是因为：

。

注意我们需要和的独立性来确立第三和第四个表达式的相等性。

另外一个特殊情况，是且为样本平均值。在这个情况下，用表示平均值，我们便有：

。

特征函数的应用由于连续定理，特征函数被用于中心极限定理的最常见的证明中。

矩特征函数还可以用来求出某个随机变量的矩。只要第n个矩存在，特征函数就可以微分n次，得到：

例如，假设X具有标准柯西分布。那么。它在 t=0处不可微，说明柯西分布没有期望值。另外，注意到个独立的观测的样本平均值具有特征函数，利用前一节的结果。这就是标准柯西分布的特征函数；因此，样本平均值与总体本身具有相同的分布。

特征函数的对数是一个累积量母函数，它对于求出累积量是十分有用的；注意有时定义累积量母函数为矩母函数的对数，而把特征函数的对数称为第二累积量母函数。3

一个例子具有尺度参数θ和形状参数k的伽玛分布的特征函数为：

现在假设我们有：

其中X和Y相互独立，我们想要知道X+Y的分布是什么。X和Y特征函数分别为：

根据独立性和特征函数的基本性质，可得：

这就是尺度参数为θ、形状参数为k1+k2的伽玛分布的特征函数，因此我们得出结论：

这个结果可以推广到n个独立、具有相同尺度参数的伽玛随机变量：