[科普中国]-拟线性方程

如果一个方程(组)对于未知函数的所有最高阶导数都是线性的，则称为拟线性方程(组)，由最高阶导数组成的部分称为方程的主部，如果拟线性方程主部的各项系数不含未知函数，则称为半线性方程。

一阶拟线性方程基本介绍一阶拟线性偏微分方程(quasi-linear partial differential equation of first order)是一类特殊的一阶非线性偏微分方程。关于未知函数的偏导数是线性的一阶非线性偏微分方程称为一阶拟线性偏微分方程，一阶拟线性偏微分方程通常可以写成下列形状

其中 和 为 和 的已知连续可微函数，

其几何意义为，在 维空间中的每一点 给定了一个方向 ，曲面 在该点上的法方向

与方向 正交，或者说，曲面 在该点与此方向相切。常微分方程组

或

称为上述一阶拟线性偏微分方程的特征方程。特征方程的积分曲线，或向量场 的积分曲线称为该一阶拟线性偏微分方程的特征线1。

求解问题假设在变量 的 维空间的某一区城D， 和 为其变量 的可微函数。

已给变量 的任一函数，若此函数对这些变量都有偏导数，且能使方程(1)化为恒等式，则称此函数为方程(1)的解。和线性方程一样，可以把此解解释为空间 中的曲面。

让方程(1) 和下列线性方程

相对应。

定理1设 为方程(3) 的解，设方程 在变量 的区域G决定了某一可微函数 ，且设在G内 ，则 是方程(1) 的解。

和线性情况不同，在拟线性情况，特征线不在空间 ，而在空间 ，所以这时特征线另有几何意义，有下列事实。

定理2每一积分曲面 按下述意义由特征线组成：经过此曲面的每一点可引某一条完全位于其上的特征线2。

为了求解方程(1)，应该按照下列方式进行。组成方程组(线性方程(3)的特征线方程组)：

(把方程组(4) 的积分曲线，即线性方程(3)的特征线称为拟线性方程(1)的特征线)对此方程组求积分，求出n个独立的第一积分：

方程(1)的通积分可以这样写出：

其中 是任意可微函数，这时假设函数 是连续可微的，在所研究的变量 的变化区域内不变为03。

二阶拟线性方程二阶拟线性椭圆型方程(quasilinear elliptic equations of second order)是关于二阶导数为线性且其系数矩阵为正定的二阶非线性偏微分方程，自变量 的函数 的二阶拟线性偏微分方程

，当其系数矩阵 对所有 ( 是 的一个子集)是正定的，则称方程(2)在U中是椭圆型的，即，如果用 分别表示 的最小和最大特征值，那么

对所有 和所有 成立，如果对于某正常数λ0有 ，就称方程(2)在U是强椭圆型的，如果在U中 且 是一致有界的，则称方程(2)在U内是一致椭圆型的。若方程(2)在整个集 中是椭圆型(一致椭圆型)的，就简称方程(2)在Ω中是椭圆型(一致椭圆型)的，若存在一个可微向量值函数

和一个数值函数 ，使

即在(2)中

则称算子Q及方程 是散度形式的。和线性方程的情形不同，具有光滑系数的拟线性微分方程未必可以表示成散度形式1。

本词条内容贡献者为:

尚华娟 - 副教授 - 上海财经大学