[科普中国]-运算律

运算律是通过对一些等式的观察、比较和分析而抽象、概括出来的运算规律。既是重要的数学规律，也是数学运算固有的性质。包括加法交换律和结合律、乘法交换律和结合律、以及乘法对于加法的分配律等等。

内容本质运算律既是重要的数学规律，也是数学运算所固有的性质。

1.根据运算的定义可以推导出运算律。

运算律是通过对一些等式的观察、比较和分析而抽象、概括出来的运算规律。这个过程属于由具体到抽象、由特殊到一般的归纳，体现了合情推理的基本特点。但从知识逻辑来说，运算律与相关运算的定义是相伴相生的。数学家在定义四则运算的同时即需考虑“能否由定义出发合乎逻辑地推导出相应的运算律”。

2.运算定义和运算律是探索相关计算方法的依据。

完成运算、得出结果的方法、程序或途径，通常叫做运算方法或计算方法。把运算方法所要求的操作程序和要点用相对准确、规范且比较容易理解的文本语言表述出来，或者将当前运算归结为学生早先已经掌握的相关运算，就是所谓的“运算法则”。1

分类交换律交换律是被普遍使用的一个数学名词，指能改变某物的顺序而不改变其最终结果。交换律是大多数数学分支中的基本性质，而且许多的数学证明都需要依靠交换律。即给定集合S上的二元计算，如果对S中的任意a，b满足a+b = b+a，则称满足交换律。

例如，在四则运算中，加法和乘法都满足交换律。加法交换律是指两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。即a+b=b+a。乘法交换律是指两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变。即axb=bxa。另外，在集合运算中，集合的交、并、对称差等运算都满足交换律。2

结合律结合律是指给定一个集合S上的二元运算，如果对于S中的任意a，b，c。有加法结合律a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)或乘法结合率ax(bxc) = (axb)xc，则称其运算满足结合律。

例如，在常见的四则运算中，加法和乘法都满足结合律。加法结合律是指三个数相加，先把前面两个数相加，再加第三个数，或者先把后面两个数相加，再和第一个数相加，它们的和不变。即表示为：(a+b)+c=a+(b+c)；乘法结合律是指三个数相乘，先把前面两个数相乘，再乘第三个数，或者先把后面两个数相乘，再和第一个数相乘，它们的积不变。即表示为：(axb)xc=ax(bxc)。另外，在集合运算中，集合的交、并运算都满足结合律。2

分配律给定集合S上的两个二元运算x和+，若对任意S中的a，b，c有cx(a+b) = (cxa)+(cxb) ，则称运算x对运算+满足左分配律。若对任意S中的a，b，c有(a+b)xc = (axc)+(bxc)， 则称运算x对运算+满足右分配律。

例如，在常见的四则运算中，乘法对加法和减法都满足分配律（即同时满足左右分配律）。即两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘，再把两个积相加。另外，在集合运算中，交运算对并运算满足分配律；并运算对交运算满足分配律；交运算对差运算满足分配律；并运算对差运算满足分配律。

相关公式加法交换律：a+b=b+a；

乘法交换律：a×b=b×a；

加法结合律：a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)；

乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)；

乘法分配律：a×(b+c)=a×b+a×c；

左分配律：cx(a+b) = (cxa)+(cxb)；

右分配律：(a+b)xc = (axc)+(bxc)。3

相关计算例1.根据加法交换律填空。

（ ）+165=165+35 ；48+29+52=48+（ ）+（ ）。

解：35；52；29。

例2.根据乘法分配律求解。

（40+8）×25 ；125×（8+80）；93×6+93×4；325×113－325×13。

解：（40+8）×25=40×25+8×25=1200；125×（8+80）=125×8+125×80=11000；

93×6+93×4=93×（6+4）=930；325×113－325×13=325×（113-13）=32500。

教学价值在小学数学里教学运算律，不仅具有显性的知识与技能价值，而且具有隐性的过程与方法价值。从显性的方面看，运算律是数与代数部分的重要知识，应用运算律进行简便计算有助于学生不断提高运算能力；从隐性的方面看，通过运算律的教学，有助于学生丰富和加深对运算本身的理解，感受抽象、推理、模型等基本数学思想，同时也能获得一些对心智成长十分有益的感悟。

1.在探索运算律的过程中感受合情推理的价值。

对小学生而言，运算律是对一些相似运算现象进行观察、比较、分析而抽象、概括出来的规律，是经由探索活动所得到重要发现。这个过程的本质，是由特殊到一般、由具体到抽象的归纳。所以，探索和发现运算律的过程有助于学生感受合情推理的价值，培养初步的合情推理能力。

2.在表征运算律的过程中感受简单的模型思想。

在学生借助实例初步归纳出运算律的基本内容之后，接下来的重点就是引导他们用合适的方式把发现的规律表示出来。这个过程也被称为“表征运算律”。一般来说，运算律的表征方式主要有三种，一是语言表征，二是图形表征，三是符号表征。其中，图形表征和符号表征具有初步的数学建模的意味，经历这个过程有助于学生初步感受模型思想，体会数学表达方式的特点和价值，提高学习数学、应用数学的兴趣。

3.在应用运算律解释计算方法的过程中加深对运算本身的理解。

运算定义和运算律是理解相关运算方法的前提和依据。但小学生受年龄特点、知识经验和认知能力的限制，他们在探索相关计算方法时，并不能从运算定义和运算律出发合乎逻辑地进行推理，也意识不到运算律在计算方法探索过程中的作用。事实上，小学生在探索和理解计算方法时，会更多地借助实际生活中的事理以及相关的生活经验进行思考。

4.在应用运算律简便计算的过程中感受化归思想。

小学生探索和发现运算律，主要依靠合情推理，而在应用运算律进行简便计算，就是进行演绎推理。同时，简便计算的过程也体现了“等值变形”的化归思想。即对于一道较为复杂的计算题，有效的计算策略是先应用运算律或其他运算性质、运算规律把它转化为相对简单和熟悉的题目，从而使计算途径更加合理、简洁。教学中，一方面要重视引导学生分析、思考每一步运算的依据，做到有根据、有条理地思考；另一方面也要适当引导学生体会化难为易、化繁为简、化生疏为熟悉的策略价值，受到化归思想的启蒙。1

本词条内容贡献者为:

王海侠 - 副教授 - 南京理工大学