[科普中国]-动量矩定理

动力学普遍定理之一，它给出质点系的动量矩与质点系受机械作用的冲量矩之间的关系。动量矩定理有微分形式和积分形式两种。

基本定理积分形式设质点系中任一质点的质量为mi，受外力的合力 和内力 的合力作用，加速度为 ，沿曲线轨迹运动到Q点时的速度为 （见图）。

根据牛顿第二定律，有：

将式（1）向轨迹的切线方向投影，得式

因

，

代入式（2）可得：

。

上式可以改写为：

式中为质点i的动能；和分别为质点i上外力和内力的元功。对于整个质点系则应为：

式中为质点系的总动能。对式（4）进行积分，可得：

式中T1，为质点系在过程开始时的动能；T2为质点系在过程结束时的动能。

式（5）是以积分形式表示的质点系的动能定理，它表明:质点系的总动能在某个力学过程中的改变量，等于质点系所受的诸外力和诸内力在此过程中所做功的总和。

微分形式将式（4）两边除以dt，得：

式中为外力的功率；为内力的功率。

式（6）是以微分形式表示的质点系的动能定理，它表明；质点系的总动能随时间的变化率等于质点系所受诸外力和诸内力在单位时间内所作功的总和。

质点是质点系的一个特殊情况，故动能定理也适用于质点。但是，对于质点和刚体，诸内力所做功的总和等于零，因为前者根本不受内力作用，而后者的内力则成对出现，其大小相等，方向相反，作用在同一直线上，且刚体上任两点的距离保持不变，故其内力作功总和等于零。1

其它相关在某力学过程的时间间隔内，质点系对某点动量矩的改变，等于在同一时间间隔内作用于质点系所有外力对同一点的冲量矩的矢量和。

对刚体绕定轴z以角速度ω转动(转动惯量为Iz)的情况，可投影到z轴上。

即在某一时间间隔内,刚体对z轴动量矩(Izω)的改变,等于在同一时间间隔内作用于刚体上所有外力对 z轴的冲量矩的代数和。

质点是质点系的一个特殊情况，故动量矩定理也适用于质点。

对质心和加速度瞬心使用动量定理时，与对固定点的动量定理具有相同的形式；对质心使用动量矩定理时，无论相对动量的动量矩定理还是绝对动量的动量矩定理，都同对固定点的动量矩定理具有相同的形式；对速度瞬心和速度方向与质心的相对速度相平行的动点，使用绝对动量的动量矩定理以及对加速度瞬心和加速度方向与质心的相对位矢相平行的动点使用相对动量的动量矩定理时，也可得到同对固定点的动量矩定理具有相同的形式；对质心和速度瞬心以及速度方向与质心的相对速度相垂直的动点的动能，都与对固定点的动能形式相同；对质心和加速度瞬心的动能定理与对固定点的动能定理也具有相同的表达形式2。

本词条内容贡献者为:

李嘉骞 - 博士 - 同济大学