[科普中国]-矢量运算

矢量运算，矢量之间的运算要遵循特殊的法则。矢量加法一般可用平行四边形法则。由平行四边形法则可推广至三角形法则、多边形法则或正交分解法等。矢量减法是矢量加法的逆运算，一个矢量减去另一个矢量，等于加上那个矢量的负矢量。

介绍向量（英语：vector，物理、工程等也称作矢量）是数学、物理学和工程科学等多个自然科学中的基本概念，指一个同时具有大小和方向，且满足平行四边形法则的几何对象。一般地，同时满足具有大小和方向两个性质的几何对象即可认为是向量（特别地，电流属既有大小、又有正负方向的量，但由于其运算不满足平行四边形法则，公认为其不属于向量）。向量常常在以符号加箭头标示以区别于其它量。与向量相对的概念称标量或数量，即只有大小、绝大多数情况下没有方向（电流是特例）、不满足平行四边形法则的量。

向量的大小是相对的，在有需要时，会规定单位向量，以其长度作为1。每个方向上都有一个单位向量。

向量之间可以如数字一样进行运算。常见的向量运算有：加法，减法，数乘向量以及向量之间的乘法（数量积和向量积）。1

加法与减法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。具体地，两个向量a和b相加，得到的是另一个向量。这个向量可以表示为a和b的起点重合后，以它们为邻边构成的平行四边形的一条对角线，或者表示为将a的终点和b的起点重合后，从a的起点指向b的终点的向量：

两个向量a和b的相减，则可以看成是向量a加上一个与b大小相等，方向相反的向量。又或者，a和b的相减得到的向量可以表示为a和b的起点重合后，从b的终点指向a的终点的向量：

当这两个向量数值、方向都不同，基本向量时，向量和计算为

并且有如下的不等关系：

此外，向量的加法也满足交换律和结合律。

向量与积向量空间分为有限维向量空间与无限维向量空间。在有限维向量空间中，可以找到一组（有限个）向量，使得任意一个向量v都可以唯一地表示成这组向量的线性组合：

其中的标量是随着向量v而确定的。这样的一组向量称为向量空间的基。给定了向量空间以及一组基后，每个向量就可以用一个数组来表示了。两个向量v和w相同，当且仅当表示它们的数组一样。

两个向量v和w的和：

它们的数量积为：

而标量k与向量v的乘积则为：

标量乘法一个标量k和一个向量v之间可以做乘法，得出的结果是另一个与v方向相同或相反，大小为v的大小的|k|倍的向量，可以记成。该种运算被称为标量乘法或数乘。-1乘以任意向量会得到它的反向量，0乘以任何向量都会得到零向量0。

数量积数量积也叫点积，它是向量与向量的乘积，其结果为一个标量（非向量）。几何上，数量积可以定义如下：

设a、b为两个任意向量，它们的夹角为，则他们的数量积为：

即a向量在b向量方向上的投影长度（同方向为正反方向为负号），与a向量长度的乘积。 数量积被广泛应用于物理中，如做功就是用力的向量乘位移的向量，即 。

向量积向量积也叫叉积，外积，它也是向量与向量的乘积，不过需要注意的是，它的结果是个向量。它的几何意义是所得的向量与被乘向量所在平面垂直，方向由右手定则规定，大小是两个被乘向量张成的平行四边形的面积。所以向量积不满足交换律。举例来说 但是 。

设有向量，

则其向量积的矩阵表达式可用下列符号表示：

混合积三个向量a、b和c的混合积定义为，物理意义为三向量始于同点时所构成的体积：

标积与矢积一定要清晰地区分开标积与矢积。见下表。

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本词条内容贡献者为:

杜强 - 高级工程师 - 中国科学院工程热物理研究所