[科普中国]-场方程

场方程是描述场的运动规律的方程。著名的场方程有爱因斯坦场方程等。

爱因斯坦场方程爱因斯坦重力场方程是一组含有十个方程的方程组，由爱因斯坦于1915年在广义相对论中提出。1此方程组描述了重力是由物质与能量所产生的时空弯曲所造成。也就是说，如同牛顿的万有引力理论中质量作为重力的来源，亦即有质量就可以产生重力，爱氏的相对论理论更进一步的指出，动量与能量皆可做为重力的来源，并且将“重力场”诠释成“时空弯曲”。所以当我们知道物质与能量在时空中是如何分布的，就可以计算出时空的曲率，而时空弯曲的结果即是重力。

爱因斯坦重力场方程是用来计算动量与能量所造成的时空曲率，再搭配测地线方程，就可以求出物体在重力场中的运动轨迹。这个想法与电磁学的想法是类似的：当我们知道了空间中的电荷与电流(电磁场的来源)是如何分布的，借由麦克斯韦方程组，我们可以计算出电场与磁场，再借由劳伦兹力方程，即可求出带电粒子在电磁场中的轨迹。

仅在一些简化的假设下，例如：假设时空是球对称，此方程组才具有精确解。这些精确解常常被用来模拟许多宇宙中的重力现象，像是黑洞、膨胀宇宙、引力波。

数学型式其中

称为爱因斯坦张量，

是从黎曼张量缩并而成的里奇张量，代表曲率项；

是从里奇张量缩并而成的标量曲率(或里奇数量)；

是从(3+1)维时空的度量张量；

是能量-动量-应力张量，

G是重力常数，

c是真空中光速。

爱因斯坦场方程是一组含有若干4阶对称张量的张量方程。每一个张量都有10个独立的分量。由于4个比安基恒等式，我们可以将10个爱因斯坦场方程减少至6个独立的方程组。这导致了度规张量gμν有4个自由度，与坐标选取的4个自由度是对应的。

虽然爱因斯坦场方程一开始是一个应用在四维时空的理论，但是一些理论学家尝试将它应用在探索n维时空上。真空中的场方程(当方程右边的T张量等于零)定义了爱因斯坦流形。

尽管爱因斯坦方程的形式看起来很简单，实际上他们是一组复杂的二阶非线性微分方程。只要给定一个质量与能量分布，亦即能量-动量张量，爱因斯坦场方程就变成一个度规张量gμν的微分方程。

一般我们借由定义爱因斯坦张量( 一个对称的与度规gμν有关的二阶张量) ： 来将爱因斯坦场方程写成一个更加简单的形式：

。

若使用几何化单位制，则G=c= 1，场方程因此简化为：

如果是使用相对论中的几何化单位制（有理化的几何化单位制），则场方程为：

此时，方程变得更简单，连都没有。

性质能量与动量守恒场方程的一个重要结果是遵守局域的（local）能量与动量守恒，透过应力-能量张量（代表能量密度、动量密度以及应力）可写出：

场方程左边（弯曲几何部分）因为和场方程右边（物质状态部分）仅成比例关系，物质状态部分所遵守的守恒律因而要求弯曲几何部分也有相似的数学结果。

场方程为非线性的爱因斯坦场方程的非线性特质使得广义相对论与其他物理学理论迥异。举例来说，电磁学的麦克斯韦方程组跟电场、磁场以及电荷、电流的分布是呈线性关系（亦即两个解的线性叠加仍然是一个解）。另个例子是量子力学中的薛定谔方程，对于概率波函数也是线性的。

对应原理透过弱场近似以及慢速近似，可以从爱因斯坦场方程退化为牛顿重力定律。事实上，场方程中的比例常数是经过这两个近似，以跟牛顿重力理论做连结后所得出。

真空场方程宇宙常数为零若能量-动量张量在所关注的区域中为零，则场方程被称作真空场方程。在完整的场方程中设定，则真空场方程可写为：

对此式做张量缩并，亦即使指标μ跟ν相同：

由于，整理可得：

而克罗内克尔δ在四维空间（时空）下取迹数为4，所以式子可写作：

是故R=0。

因此可以得到此一更常见、等价的迹数反转（trace-reversed）式：

宇宙常数不为零若宇宙常数不为零，则方程为

若同上面宇宙常数为零的例子，其迹数反转（trace-reversed）形式为

真空场方程的解顾名思义称作真空解。平直闵可夫斯基时空是最简单的真空解范例。不寻常的真空解范例包括了史瓦西解与克尔解。

附带一提的是：微分几何中，里奇张量为零（即：）的流形称作里奇平坦流形，另外里奇张量与度规成比例关系的流形，称为爱因斯坦流形（Einstein manifold）。

爱因斯坦-麦克斯韦方程参见：弯曲时空中的麦克斯韦方程组

如果方程组右边的能量-动量张量等于电磁学中的能量-动量张量，也就是

则此方程组称为“ 爱因斯坦-麦克斯韦方程”：

其中称为电磁张量，定义如下：

其中是4-矢势，分号代表协变微分，逗号代表偏微分。

参见广义相对论资源

本词条内容贡献者为:

杜强 - 高级工程师 - 中国科学院工程热物理研究所