[科普中国]-解三角形

一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形1。

解三角形，常用到正弦定理和余弦定理和面积公式等。

定义一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素。

已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形2。

意义众所周知，传统的平面几何学通常只能讨论边与边、边与面积、面积与面积、角与角之间的数量关系，却无法讨论角和边、角和面积之间的数量关系。如果我们能够讨论角和边之间的数量关系，然后讨论边与面积之间的数量关系，我们就可以讨论角与面积之间的数量关系。对于角和边之间的定量关系，虽然我们也有诸如“30°的角所对的直角边为斜边的一半”这样的定理，再用勾股定理也可以求出60°的角所对的直角边为斜边的（根号3）/2倍，但这些毕竟仅仅是针对“特殊值”的讨论，而不是一般性的讨论3。

由平面几何知识可知，已知三角形的邻边a，b及其夹角C，根据“边角边定理”，第三边c完全确定。从而，我们可以用带有a，b，C的表达式来表示c，即c=f（a，b，C）。如何给出这个表达式？数学上，通过定义三角函数，进而可以用含有角的表达式来表示边，解三角形就是求解此类问题的。

解三角形，使许多具体几何问题的求解得以数量化。只要我们可以用式子表示出三角形边和角（或者边和面积）之间的数量关系，然后进行化简，就可以求解或者证明一些几何题，从而避免许多繁琐的辅助线。并且，如何作辅助线并没有一套通用的法则，需要因题而异。一些辅助线需要很高的洞察力。

三角函数在物理学、工程、技术等领域也有广泛的应用。直接用含有角度的公式来表示相关的物理参量，通常会很方便，具有较高的可实践性与可操作性，进而针对许多具体的物理量只需一个公式就可以求解。

常用定理正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（2R在同一个三角形中是恒量，R是此三角形外接圆的半径）4。

变形公式（1）a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC

（2）sinA：sinB：sinC=a：b：c

（3）asinB=bsinA，asinC=csinA，bsinC=csinB

（4）sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R

面积公式（5）S=1/2bcsinA=1/2acsinB=1/2absinC S=1/2底·h（原始公式）

余弦定理a²=b²+c²**-2bccosA**

b²**=a²+c²-2accosB**

c²**=a²+b²-2abcosC**

注：勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况5。

变形公式cosC=(a²+b²-c²)/2ab

cosB=(a²+c²-b²)/2ac

cosA=(c²+b²-a²)/2bc

三角形△的内角平分线的性质定理

AD为角A平分线与BC交点连线则AB/AC=BD/DC

海伦-秦九韶公式p=(a+b+c)/2（公式里的p为半周长）

假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：

S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

已知三条中线求面积

方法一：已知三条中线Ma,Mb,Mc，

则S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3 ；

方法二：已知三边a，b，c ；

则S= √[p(p-a)(p-b)(p-c)]；其中：p=(a+b+c)/2 ；

形状判断

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