[科普中国]-黄金矩形

黄金矩形(Golden Rectangle)的长宽之比为黄金分割率，换言之，矩形的短边为长边的 0.618倍1。黄金分割率和黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦。在很多艺术品以及大自然中都能找到它，希腊雅典的巴特农神庙就是一个很好的例子。蒙娜丽莎的脸符合黄金矩形，同样也应用了该比例布局。

黄金矩阵

给定一个线段，如何把它分割成黄金分割比呢？古希腊人的方法是先做出一个黄金矩形（即其长与宽的比恰好为黄金分割比）：先作一个边长为 1 的正方形ABCD，并连结一组对边的中点E与F，把正方形如图左右均分，再以F为圆心，FC长为半径圆弧，交的FD延长线于G点，过G作垂线，交EC延长线于H。

此时得到的矩形DCHG就是黄金矩形了，而（利用毕氏定理）有了黄金矩形后，任何学过基本几何作图的人，都会把一段线分成黄金分割比了2。

黄金分割概念黄金矩形（Golden Rectangle）的短边与长边之比确切值为（√5-1)/2，在应用上一般取它的近似值0.618。

简介黄金分割数是无理数，这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用3。

知识简介美学定律这是公元前六世纪古希腊数学家毕达哥拉斯所发现，后来古希腊美学家柏拉图将此称为黄金分割。这其实是一个数字的比例关系，即把一条线分为两部分，此时长段与短段之比恰恰等于整条线与长段之比，其数值比为1.618:1或1:0.618，也就是说长段的平方等于全长与短段的乘积。0.618，以严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。

为什么人们对这样的比例，会本能地感到美的存在？其实这与人类的演化和人体正常发育密切相关。据研究，从猿到人的进化过程中，骨骼方面以头骨和腿骨变化最大，躯体外形由于近似黄金矩形而变化最小，人体结构中有许多比例关系接近0.618，从而使人体美在几十万年的历史积淀中固定下来4。人类最熟悉自己，势必将人体美作为最高的审美标准，由人及物，由物及人，推而广之，凡是与人体相似的物体就喜欢它，就觉得美。于是黄金分割律作为一种重要形式美法则，成为世代相传的审美经典规律，至今不衰！

近年来，通过a+美学定律研究发现了人体结构中有14个“黄金点”（物体短段与长段之比值为0.618），12个“黄金矩形”（宽与长比值为0.618的长方形）和2个“黄金指数”（两物体间的比例关系为0.618)。

黄金点⑴肚脐：头顶－足底之分割点；⑵咽喉：头顶－肚脐之分割点；⑶、⑷膝关节：肚脐－足底之分割点；⑸、⑹肘关节：肩关节－中指尖之分割点；⑺、⑻乳头：躯干乳头纵轴上这分割点；⑼眉间点：发际－颏底间距上1/3与中下2/3之分割点；⑽鼻下点：发际－颏底间距下1/3与上中2/3之分割点；⑾唇珠点：鼻底－颏底间距上1/3与中下2/3之分割点；⑿颏唇沟正路点：鼻底－颏底间距下1/3与上中2/3之分割点；⒀左口角点：口裂水平线左1/3与右2/3之分割点；⒁右口角点：口裂水平线右1/3与左2/3之分割点。

黄金矩形实例黄金矩形分割

1）作任意正方形ABCD．

2）取AB的中点N.

3）用圆规，以N为中心，以|CN|为半径作弧．

4）延长射线AB直至与以上的弧相交于E点．

5）延长射线DC．

6）作线段EF⊥AE，并令射线DC与EF交于F点．

则ADFE为一黄金矩形．

人体中黄金矩形

⑴躯体轮廓：肩宽与臀宽的平均数为宽，肩峰至臀底的高度为长；⑵面部轮廓：眼水平线的面宽为宽，发际至颏底间距为长；⑶鼻部轮廓：鼻翼为宽，鼻根至鼻底间距为长；⑷唇部轮廓：静止状态时上下唇峰间距为宽，口角间距为长；⑸、⑹手部轮廓：手的横径为宽，五指并拢时取平均数为长；⑺、⑻、⑼、⑽、⑾、⑿上颌切牙、侧切牙、尖牙（左右各三个）轮廓：最大的近远中径为宽，齿龈径为长。

黄金指数⑴反映鼻口关系的鼻唇指数：鼻翼宽与口角间距之比近似黄金数；⑵反映眼口关系的目唇指数：口角间距与两眼外眦间距之比近似黄金数。

0.618，作为一个人体健美的标准尺度之一，是无可非议的，但不能忽视其存在着“模糊特性”，它同其它美学参数一样，都有一个允许变化的幅度，受种族、地域、个体差异的制约。

黄金比例用同一人体的某一部位作为基准，来判定它与人体的比例关系的方法被称为同身方法。分为三组：系数法，常指头高身长指数，如画人体有坐五、立七，即身高在坐位时为头高的五倍、立位时为7或7.5倍；百分数法，将身长视为100%，身体各部位在其中的比例；两分法：即把人体分成大小两部分，大的部分从脚到脐，小的部分为脐到头顶。标准的面型，其长宽比例协调，符合三庭五眼。三停是指脸型的长度，从头部发际到下颏的距离分为三等分，即从发际到眉、眉到鼻尖、鼻尖到下颏各分为一等分，各称一停共三停；五眼是指脸型的宽度，双耳间正面投影的长度为五只眼裂的长度，除眼裂外、内此间距为一眼裂长度、两侧外眦角到耳部各有一眼裂长度.

医学与0.618有着千丝万缕的联系，它可解释人为什么在环境22至24℃时感觉最舒适。因为人的体温为37℃与0.618的乘积为22.8℃，而且这一温度中肌体的新陈代谢、生理节奏和生理功能均处于最佳状态。科学家们还发现，当外界环境温度为人体温度的0.618倍时，人会感到最舒服．现代医学研究还表明，0.618与养生之道息息相关，动与静是一个0.618的比例关系，大致四分动六分静，才是最佳的养生之道。医学分析还发现，饭吃六七成饱的几乎不生胃病。

高雅的艺术殿堂里，自然也留下了黄金数的足迹。画家们发现，按0.618:1来设计腿长与身高的比例，画出的人体身材最优美，而现今的女性，腰身以下的长度平均只占身高的0.58，因此古希腊维纳斯女神塑像及太阳神阿波罗的形象都通过故意延长双腿，使之与身高的比值为0.618，从而创造艺术美。难怪许多姑娘都愿意穿上高跟鞋，而芭蕾舞演员则在翩翩起舞时，不时地踮起脚尖。音乐家发现，二胡演奏中，“千金”分弦的比符合0.618∶1时，奏出来的音调最和谐、最悦耳。

植物的叶子，千姿百态，生机盎然，给大自然带来了美丽的绿色世界。尽管叶子形态随种而异，但它在茎上的排列顺序（称为叶序），却是极有规律的。有些植物的花瓣及主干上枝条的生长，也是符合这个规律的。你从植物茎的顶端向下看，经细心观察，发现上下层中相邻的两片叶子之间约成137.5°角。如果每层叶子只画一片来代表，第一层和第二层的相邻两叶之间的角度差约是137.5°，以后二到三层，三到四层，四到五层……两叶之间都成这个角度。植物学家经过计算表明：这个角度对叶子的采光、通风都是最佳的。叶子的排布，多么精巧！叶子间的137.5°角中，藏有什么“密码”呢？我们知道，一周是360°，360°-137.5°=222.5°，而137.5°∶222.5°≈0.618。瞧，这就是“密码”！叶子的精巧而神奇的排布中，竟然隐藏着0.618。

黄金分割应用雕塑——维纳斯女神，上半身和下半身比值接近0.618

建筑——1.上海东方明珠电视塔，塔高468米，上球体到塔底部的距离大约是289米。两者之比约为0.618。2.埃及金字塔，金字塔的底面的边长与金字塔的高度之比接近于0.618。3.希腊巴特农神庙。

绘画——蒙娜丽莎的微笑。各国的国旗都近似于黄金矩形，生活的纸为黄金矩形。

本词条内容贡献者为:

杨磊 - 副教授 - 北京大学数学学院