[科普中国]-正切值

正切值是指是直角三角形中，某一锐角的对边与另一相邻直角边的比值1。对于任意一个实数x，都对应着唯一的角，而这个角又对应着唯一确定的正切值tanx与它对应，按照这个对应法则建立的函数称为正切函数。

数学概念定义

在直角坐标系中（如图）即tanθ=y/x，三角函数是数学中属于初等函数中超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。

另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。

如下图，正切是tanα=b/a

余切是cotα=a/b

正弦是sinα=b/c

余弦是cosα=a/c

正割是secα=c/a

余割是cscα=c/b

正矢是versinθ=1-cosθ

余矢是vercosθ=1-sinθ

正切函数

对于任意一个实数x，都对应着唯一的角（弧度制中等于这个实数），而这个角又对应着唯一确定的正切值tanx，按照这个对应法则建立的函数称为正切函数。 形式是f(x)=tanx 正切函数是区别于正弦函数的又一三角函数，它与正弦函数的最大区别是定义域的不连续性2。

性质1、定义域：{x|x≠(π/2)+kπ,k∈Z}

2、值域：实数集R

3、奇偶性：奇函数

4、单调性：在区间(-π/2+kπ,π/2+kπ)，k∈Z上都是增函数

5、周期性：最小正周期π（可用π/|ω|来求）

6、最值：无最大值与最小值

7、零点：kπ,k∈Z

8、对称性:轴对称：无对称轴 中心对称：关于点(kπ/2,0)对称k∈Z

9、正切曲线的对称中心：所有零点。坐标（kπ，0）（k∈Z）

10、正切的两角和与差公式：f(x+y)=f(x)+f(y)/1-f(x)f(y) f(x-y)=f(x)-f(y)/1+f(x)f(y)

11、正切函数与其它三角函数一些简单关系：1^2+tanx^2=secx^2

tanx=1/cotx

cosx^2=1/(1+tanx^2)

12、正切函数的半角公式：tanx/2=(1-cosx)/sinx=sinx/(1+cosx)

13、由正弦以及余弦的降幂公式得到的正切降幂公式：tanx^2=(1-cos2x)/(1+cos2x)

14、正切函数一条结论（对做题有帮助）：当A+B=π/4时候，必有(1+tanA)(1+tanB)=2，可用正切两角和证明

应用正切值在数值上与坡度相等，坡度=正切值x100%。

三角函数在复数领域有较为广泛的应用，在物理学方面也有一定的应用。

三角函数在勘测地形、勘探矿产方面发挥着重要的作用

三角函数还用于通过视角来测量建筑物或山峰的高度

关于正切值表早期没有电子计算器时，编制印行的角度-正切值查对表。较少使用和印行。

常用正切值：tan22.5°=√2-1，tan30°=√3/3，tan45°=1，tan60°=√3，tan67.5°=√2+1，tan90°不存在

电容器由于电容器损耗的存在，使加在电容器的电压与电流之间的夹角（相位角）不是理想的90度，而是偏离了一个δ度，这个δ角就称为电容器的损耗角（如右图），习惯上以损耗角正切值表示3。

其表示式为：电容器损耗角正切值=无功功率÷总功率

本词条内容贡献者为:

杨磊 - 副教授 - 北京大学数学学院