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[科普中国]-三角形中位线定理

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三角形的中位线平行于第三边(不与中位线接触),并且等于第三边的一半1。

定理三角形的中位线平行于第三边(不与中位线接触),并且等于第三边的一半。

如右图所示,在三角形ABC中,DE是以BC为底的三角形中位线,则可得DE//BC,且DE=BC/2。具体证明过程如下。

证明如图,已知△ABC中,D,E分别是AB,AC两边中点。

求证DE平行于BC且等于BC/2

方法一:过C作AB的平行线交DE的延长线于G点。

∵CG∥AD

∴∠A=∠ACG

∵∠AED=∠CEG、AE=CE、∠A=∠ACG(用大括号)

∴△ADE≌△CGE (A.S.A)

∴AD=CG(全等三角形对应边相等)

∵D为AB中点

∴AD=BD

∴BD=CG

又∵BD∥CG

∴BCGD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)

∴DG∥BC且DG=BC

∴DE=DG/2=BC/2

∴三角形的中位线定理成立.

方法二:相似法:

∵D是AB中点

∴AD:AB=1:2

∵E是AC中点

∴AE:AC=1:2

又∵∠A=∠A

∴△ADE∽△ABC

∴AD:AB=AE:AC=DE:BC=1:2

∠ADE=∠B,∠AED=∠C

∴BC=2DE,BC∥DE

方法三:坐标法:

设三角形三点分别为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)

则一条边长为 :根号(x2-x1)^2+(y2-y1)^2

另两边中点为((x1+x3)/2,(y1+y3)/2),和((x2+x3)/2,(y2+y3)/2)

这两中点距离为:根号((x2+x3)/2-(x1+x3)/2)^2+((y2+y3)/2-(y1+y3)/2)^2

最后化简时将x3,y3消掉正好中位线长为其对应边长的一半

方法4:

延长DE到点G,使EG=DE,连接CG

∵点E是AC中点

∴AE=CE

∵AE=CE、∠AED=∠CEG、DE=GE

∴△ADE≌△CGE (S.A.S)

∴AD=CG、∠G=∠ADE

∵D为AB中点

∴AD=BD

∴BD=CG

∵点D在边AB上

∴DB∥CG

∴BCGD是平行四边形

∴DE=DG/2=BC/2

∴三角形的中位线定理成立

方法五:向量DE=DA+AE=(BA+AC)/2=BC/2

∴DE//BC且DE=BC/2

逆定理逆定理一

在三角形内,与三角形的两边相交,平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线2。

如图DE//BC,DE=BC/2,则D是AB的中点,E是AC的中点。

证明:∵DE∥BC

∴△ADE∽△ABC

∴AD:AB=AE:AC=DE:BC=1:2

∴AD=AB/2,AE=AC/2,即D是AB中点,E是AC中点。

逆定理二

在三角形内,经过三角形一边的中点,且与另一边平行的线段,是三角形的中位线2。

如图D是AB的中点,DE//BC,则E是AC的中点,DE=BC/2

证明:取AC中点E',连接DE',则有

AD=BD,AE'=CE'

∴DE'是三角形ABC的中位线

∴DE'∥BC

又∵DE∥BC

∴DE和DE'重合(过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行)

∴E是中点,DE=BC/2

注意:在三角形内部,经过一边中点,且等于第三边一半的线段不一定是三角形的中位线!3

如图,在△ABC中,D是AB中点,E在AC上,DE=BC/2,那么DE不一定是△ABC的中位线。理由如下:
以D为圆心,DE为半径作圆,设⊙D与AC交于另一点E',则有DE'=DE=BC/2,但DE'不是三角形的中位线。

但在一定条件下该命题是真命题。根据正弦定理解三角形可知,若∠A是锐角,当DE≥AD(即当BC≥AB),或DE=ADsinA(即BC=ABsinA,此时∠C=90°)时,命题成立。若∠A是钝角或直角,则当DE>AD(即BC>AB)时,命题成立。

本词条内容贡献者为:

杨磊 - 副教授 - 北京大学数学学院