[科普中国]-梯形中位线定理

梯形中位线定理是几何学的一个定理，是指连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线，梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 1。

定理定义梯形的中位线L平行于底边，且其长度为上底加下底和的一半，用符号表示是.

L=（a+b）/2

已知中位线长度和高，就能求出梯形的面积．

S梯=2Lh÷2=Lh

中位线在关于梯形的各种题型中都是一条得天独厚的辅助线2。

验证推导如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，E、F分别是AB、CD边上的中点，求证：EF∥AD，且EF=（AD+BC）/2

证明：

连接AF并延长交BC的延长线于G。

∵AD∥BC

∴∠ADF=∠GCF

∵F是CD的中点

∴DF=FC

∵∠AFD=∠CFG

∴△ADF≌△GCF(ASA)

∴AF=FG，AD=CG

∴F是AG的中点

∵E是AB的中点

∴EF是△ABG的中位线

∴EF∥BG,EF=BG/2=(BC+CG)/2

∴EF=(AD+BC)/2

∵AD∥BC

∴EF∥AD∥BC3

特例做法如图的梯子。已知梯子每跨一步上升高度相同，则求内部横杆总长。

题示（做这些题目要注意题目的细节——上升高度相同，即每条横杆都是小梯形的中位线）。

如果同学没有掌握技巧，只会死算，那么大多只能做如图的最左的五步梯，可以设未知数解，时间消耗很大，尤其是运气不佳遇到中间或右边的多步梯，X、Y、Z的计算量非常大。

但是题目做多了，我总结了一个规律，以左图五步梯为例：五根横杆的总长为1/2（30cm+50cm）X5

中图七步梯为例：1/2(40cm+60cm)X7 那么同理，右图九步梯则是1/2(50cm+70cm)X9

总结一下就是1/2(上底+下底)Xn

本词条内容贡献者为:

杨磊 - 副教授 - 北京大学数学学院