[科普中国]-三角形中线

三角形的中线是连结三角形顶点和它的对边中点的线段。每个三角形都有三条中线，它们都在三角形的内部1。在三角形中，三条中线的交点是三角形的重心。三角形的三条中线交于一点，这点位于各中线的三分之二处。

性质设△ABC的角A、角B、角C的对边分别为a、b、c．

1、三角形的三条中线都在三角形内。

2、三角形的三条中线长：

(ma、mb、mc分别为角A,B,C所对边的中线长）

3、三角形的三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心。

4、直角三角形斜边上的中线等于斜边的1/2。

5、角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3/4。

6、三角形重心将中线分为长度比为1:2的两条线段 。

相关区别“中心”与“重心”很容易弄混淆，“中心”只存在于正三角形，也就是等边三角形当中。在等边三角形中，其内心，外心，重心，垂心都在一个点上，于是称之为中心。

内心：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点。

外心：三角形三条边的中垂线的交点叫作三角形的外心，即外接圆圆心2。

重心：三角形三条中线的交点叫作三角形的重心。

垂心：三角形三条垂线的交点叫作三角形的垂心。

如图所示，BF,CD,AE分别为正三角形ABC的三条高，中线，角平分线，其交点P即为正三角形ABC的中心。

重心定理三角形重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点位于各中线的三分之二处（自顶点算起）。

重心定理的证明：3

已知：△ABC、AD、BE、CF是三边BC，AC，AB边上的中线

求证：AD、BE、CF三线交于一点，且交点与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍。

证明：设BE与CF交于G点，连结EF

∵EF为中位线

∴EF //BC 且EF= ½BC

则△EFG∽△BCG

∴

那么．G是内分线段BE为2:1的分点

再设BE与AD交于G'点,

同理可证G'，也是内分线段BE为2:1的分点，而这样特殊的点只有一个。

故三角形的三条中线交于一点（重心）且此交点与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍。

中线与中位线三角形的中线与三角形的中位线，这两者也只有一字之差，它们的不同点是：“三角形的中线”指的是连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段；“三角形的中位线”指的是连接三角形两边中点的线段。

而这两个概念又存在着共同点：

1、都是线段；

2、每一个三角形都有三条中线，也都有三条中位线。4

本词条内容贡献者为:

郎奠波 - 副教授 - 黑龙江财经学院