[科普中国]-傅里叶系数

若在整个数轴上

且等式右边级数一致收敛，则有如下关系式：1

一般地说，若 是以 为周期且在上可积的函数 ，则按上式计算出的称为函数(关于三角函数系)的傅里叶系数，以的傅里叶系数为系数的三角级数称为(关于三角函数系)的傅里叶级数，记作：

其中，记号“”表示上式右边是左边函数的傅里叶级数1

若是以为周期且在上可积的函数 ，则：

称为函数(关于三角函数系)的傅里叶系数1

若是以为周期的偶函数，或是定义在上的偶函数 ，则：

称为函数(关于三角函数系)的傅里叶系数1

若是以为周期的奇函数，或是定义在上的奇函数 ，则：

称为函数(关于三角函数系)的傅里叶系数1

定理1

（贝塞尔不等式）

若函数在上可积，则

其中，为函数的傅里叶系数1

定理2

若是以为周期且在上可积的函数 ，则它的傅里叶级数部分和

当时，被积函数中的不定式由极限

来确定。1

以高等数学中的知识，任何周期为的周期函数，在满足狄利克雷条件时，可以由三角函数的线性组合来表示

上式即为周期信号的三角傅里叶级数表达式，其中，为基波信号，为次谐波频率，是傅里叶系数。

又可表示为

其中，傅里叶系数，振幅，相位之间的关系是

可看出，和都是的偶函数，和都是的奇函数2。

其中，傅里叶系数

还可写成2：