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[科普中国]-根轨迹

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根轨迹的提出

当闭环系统没有零点与极点相消时,闭环特征方程式的根就是闭环传递函数的极点,我们常简称为闭环极点。因此,从已知的开环零、极点位置及某一变化的参数来求取闭环极点的分布,实际上就是解决闭环特征方程式的求根问题。当特征方程的阶数高于四阶时,除了应用MATLAB软件包,求根过程是比较复杂的。如果要研究系统参数变化对闭环特征方程式根的影响,就需要进行大量的反复计算,同时还不能直观看出影响趋势。因此对于高阶系统的求根问题来说,解析法就显得很不方便。

1948年,W.R.伊文思在“控制系统的图解分析”一文中,提出了根轨迹法。当开环增益或其他参数改变时,其全部数值对应的闭环极点均可在根轨迹图上简便地确定。因为系统的稳定性由系统闭环极点唯一确定,而系统的稳态性能和动态性能又与闭环零、极点在s平面上的位置密切相关,所以根轨迹图不仅可以直接给出闭环系统时间响应的全部信息,而且可以指明开环零、极点应该怎样变化才能满足给定的闭环系统的性能指标要求。除此而外,用根轨迹法求解高阶代数方程的根,比用其他近似求根法简便。1

根轨迹与系统稳定性1.如果根轨迹全部位于S平面左侧,就表示无论增益怎么改变,特征根全部具有负实部,则系统就是稳定的。

2.如果根轨迹在虚轴上,表示临界稳定,也就是不断振荡。

3.如果根轨迹根轨迹全部都在S右半平面,则表示无论选择什么参数,系统都是不稳定的。

也就是说增益在一定范围内变化时,系统可以保持稳定,但是当增益的变化超过这一阈值时,系统就会变得不稳定,而这一阈值就是出现在根轨迹与虚轴的交点上,在这一点系统临界稳定。最终可由增益的取值范围判断系统的稳定性。

根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制具有以下绘制法则1:

法则1根轨迹的起点和终点。根轨迹起于开环极点(包括无限极点),终于开环零点(包括无限零点)。

法则2根轨迹的分支数、对称性和连续性。根轨迹的分支数与开环有限零点数m和有限极点数n中的大者相等,它们是连续的并且对称于实轴。

法则3根轨迹的渐近线。当开环有限极点数n大于有限零点数m时,有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交角为

、交点为 的一组渐近线趋向无穷远处,且有 ,k=0,1,2,...,n-m-1和

法则4根轨迹在实轴上的分布。实轴上的某一区域,若其右边开环实数零、极点个数之和为奇数,则该区域必是根轨迹。

法则5根轨迹的分离点与分离角。两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又立即分开的点,称为根轨迹的分离点,分离点的坐标d是下列方程的解:

式中,zj为各开环零点的数值;pi为各开环极点的数值;分离角为(2k+1)π/l

法则6根轨迹的起始角与终止角。根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹角,称为起始角;根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹角,称为终止角。这些角度都可以由特定关系式求出。

法则7根轨迹与虚轴的交点。若根轨迹与虚轴相交,则交点上的值和ω值可用劳斯判据确定,也可令闭环特征方程中的s=jω,然后分别令其实部和虚部为零而求得。

法则8根之和。