[科普中国]-三角函数公式

三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的函数。它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。

三角函数公式看似很多、很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律，就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。

定义式

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表格参考资料来源：现代汉语词典1．

函数关系倒数关系：①；②；③

商数关系：①；②．

平方关系：①②；③

诱导公式**公式一：**设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

**公式二：**设为任意角，与的三角函数值之间的关系：

**公式三：**任意角与的三角函数值之间的关系：

公式四：与的三角函数值之间的关系：

公式五：与的三角函数值之间的关系：

公式六：及与的三角函数值之间的关系：

记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限2．即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。

诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义：

k×π/2±a(k∈z)的三角函数值

（1）当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号；
（2）当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。

记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限：

记忆方法二：无论α是多大的角，都将α看成锐角．

以诱导公式二为例：

若将α看成锐角（终边在第一象限），则π+α是第三象限的角（终边在第三象限），正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值。这样，就得到了诱导公式二。
以诱导公式四为例：
若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终边在第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负值。这样，就得到了诱导公式四。

诱导公式的应用：

运用诱导公式转化三角函数的一般步骤：
特别提醒：三角函数化简与求值时需要的知识储备：①熟记特殊角的三角函数值；②注意诱导公式的灵活运用；③三角函数化简的要求是项数要最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。

基本公式和差角公式二角和差公式

证明如图：负号的情况只需要用-β代替β即可．cot(α+β)推导只需把角α对边设为1，过程与tan(α+β)相同．

三角和公式

和差化积公式

口诀：正加正，正在前，余加余，余并肩，正减正，余在前，余减余，负正弦．

积化和差公式

倍角公式二倍角公式

三倍角公式

证明：

sin3****a

=sin(a+2a)

=sin2a·cosa+cos2a·sina

=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina

=3sina-4sin3a

cos3a

=cos(2a+a)

=cos2acosa-sin2asina

=(2cos2a-1)cosa-2(1-cos2a)cosa

=4cos3a-3cosa

sin3****a

=3sina-4sin3a

=4sina(3/4-sin2a)

=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)

=4sina×2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]×2sin[(60°-a)/2]cos[60°+a)/2]

=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)

cos3a

=4cos3a-3cosa

=4cosa(cos2a-3/4)

=4cosa(cosa-cos30°)(cosa+cos30°)

=4cosa×2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]×{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}

=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)

=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]

=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]

=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)

上述两式相比可得：

tan3a=tana·tan(60°-a)·tan(60°+a)

四倍角公式

sin4a=-4×[cosa·sina·(2×sin2a-1)]

cos4a=8cos4a-8cos2a+1

tan4a=(4tana-4tan3a)/(1-6tan2a+tan4a)3

五倍角公式

n****倍角公式

应用欧拉公式：.

上式用于求n倍角的三角函数时，可变形为：

所以

其中，Re表示取实数部分，Im表示取虚数部分．而

所以

半角公式

（正负由所在的象限决定）

万能公式

辅助角公式

证明：

由于，显然，且

故有：

其它公式正弦定理

详见词条：正弦定理

在任意△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，三角形外接圆的半径为R．则有4：

正弦定理变形可得：

余弦定理详见词条：余弦定理

对于如图所示的边长为a、b、c而相应角为α、β、γ的△ABC，有：

也可表示为：

降幂公式sin²α=[1-cos(2α)]/2

cos²α=[1+cos(2α)]/2

tan²α=[1-cos(2α)]/[1+cos(2α)]

幂级数c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn (n=0..∞)

c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n (n=0..∞)

它们的各项都是正整数幂的幂函数, 其中c0,c1,c2,...cn...及a都是常数， 这种级数称为幂级数。

泰勒展开式泰勒展开式又叫幂级数展开法

实用幂级数：

ex= 1+x+x2/2!+x3/3!+…+xn/n!+…,x∈R

ln(1+x)=x-x2/2+x3/3-…+(-1)k-1xk/k, x∈(-1,1)

sin x = x-x3/3!+x/5!-…+(-1)k-1x2k-1/(2k-1)!+…, x∈R

cos x = 1-x2/2!+x/4!-…+(-1)kx2k/(2k)!+…, x∈R

arcsin x = x + x3/(2×3) + (1×3)x/(2×4×5) + (1×3×5)x/(2×4×6×7)…+(2k+1)!!×x2k+1/(2k!!×(2k+1))+…, x∈(-1,1)（!!表示双阶乘）

arccos x = π/2 -[x + x3/(2×3) + (1×3)x/(2×4×5) + (1×3×5)x/(2×4×6×7)……], x∈(-1,1)

arctan x = x - x3/3 + x/5 -…, x∈(-∞,1)

sinh x = x+x3/3!+x/5!+…+x2k-1/(2k-1)!+…, x∈R

cosh x = 1+x2/2!+x/4!+…+x2k/(2k)!+…, x∈R

arcsinh x =x - x3/(2×3) + (1×3)x/(2×4×5) -(1×3×5)x/(2×4×6×7)…, x∈(-1,1)

arctanh x = x + x3/3 + x/5 + …, x∈(-1,1)

在解初等三角函数时，只需记住公式便可轻松作答，在竞赛中，往往会用到与图像结合的方法求三角函数值、三角函数不等式、面积等等。

万能公式tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)÷(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)

傅里叶级数傅里叶级数又称三角级数

f(x)=a0/2+∑(n=0..∞) (ancosnx+bnsinnx)

a0=1/π∫(π..-π) (f(x))dx

an=1/π∫(π..-π) (f(x)cosnx)dx

bn=1/π∫(π..-π) (f(x)sinnx)dx

本词条内容贡献者为:

郎奠波 - 副教授 - 黑龙江财经学院