[科普中国]-模糊逻辑

简介基本内容

模糊逻辑指模仿人脑的不确定性概念判断、推理思维方式，对于模型未知或不能确定的描述系统，以及强非线性、大滞后的控制对象，应用模糊集合和模糊规则进行推理，表达过渡性界限或定性知识经验，模拟人脑方式，实行模糊综合判断，推理解决常规方法难于对付的规则型模糊信息问题。模糊逻辑善于表达界限不清晰的定性知识与经验，它借助于隶属度函数概念，区分模糊集合，处理模糊关系，模拟人脑实施规则型推理，解决因“排中律”的逻辑破缺产生的种种不确定问题 。

历史发展1965年美国数学家L. Zadeh首先提出了Fuzzy集合的概念，标志着Fuzzy数学的诞生。建立在二值逻辑基础上的原有的逻辑与数学难以描述和处理现实世界中许多模糊性的对象。Fuzzy数学与Fuzzy逻辑实质上是要对模糊性对象进行精确的描述和处理。

L. Zadeh为了建立模糊性对象的数学模型，把只取0和1二值的普通集合概念推广为在[0，1]区间上取无穷多值的模糊集合概念，并用“隶属度”这一概念来精确地刻画元素与模糊集合之间的关系。正因为模糊集合是以连续的无穷多值为依据的，所以，模糊逻辑可看做是运用无穷连续值的模糊集合去研究模糊性对象的科学。把模糊数学的一些基本概念和方法运用到逻辑领域中，产生了模糊逻辑变量、模糊逻辑函数等基本概念。对于模糊联结词与模糊真值表也作了相应的对比研究。查德还开展了模糊假言推理等似然推理的研究，有些成果已直接应用于模糊控制器的研制。

创立和研究模糊逻辑的主要意义有：

（1）运用模糊逻辑变量、模糊逻辑函数和似然推理等新思想、新理论，为寻找解决模糊性问题的突破口奠定了理论基础，从逻辑思想上为研究模糊性对象指明了方向。

（2）模糊逻辑在原有的布尔代数、二值逻辑等数学和逻辑工具难以描述和处理的自动控制过程、疑难病症的诊断、大系统的研究等方面，都具有独到之处。

（3）在方法论上，为人类从精确性到模糊性、从确定性到不确定性的研究提供了正确的研究方法。此外，在数学基础研究方面，模糊逻辑有助于解决某些悖论。对辩证逻辑的研究也会产生深远的影响。当然，模糊逻辑理论本身还有待进一步系统化、完整化、规范化。

基本理论模糊逻辑是二元逻辑的重言式：在多值逻辑中，给定一个 MV-代数A，一个 A-求值就是从命题演算中公式的集合到 MV-代数的函数。如果对于所有 A-求值这个函数把一个公式映射到 1（或 0），则这个公式是一个 A-重言式。因此对于无穷值逻辑（比如模糊逻辑、武卡谢维奇逻辑），我们设 [0,1] 是 A 的下层集合来获得 [0,1]-求值和 [0,1]-重言式（经常就叫做求值和重言式）。Chang 发明 MV-代数来研究波兰数学家扬·武卡谢维奇（Jan ?ukasiewicz）在 1920 年介入的多值逻辑。Chang 的完备定理(1958, 1959) 声称任何在 [0,1] 区间成立的 MV-代数等式也在所有 MV-代数中成立。通过这个定理，证明了无穷值的武卡谢维奇逻辑可以被 MV-代数所刻画。后来同样适用于模糊逻辑。这类似于在 {0,1} 成立的布尔代数等式在任何布尔代数中也成立，布尔代数因此刻画了标准二值逻辑。

应用模糊逻辑可以用于控制家用电器比如洗衣机(它感知装载量和清洁剂浓度并据此调整它们的洗涤周期)和空调。

基本的应用可以特征化为连续变量的子范围(subranges)，形状常常是三角形或梯形。例如，防锁刹车的温度测量可以有正确控制刹车所需要的定义特定温度范围的多个独立的成员关系函数（归属函数 / Membership function）。每个函数映射相同的温度到在 0 至 1 范围内的一个真值且为非凹函数(non-concave functions)（否则可能在某部分温度越高却被归类为越冷）。接着这些真值可以用于确定应当怎样控制刹车。

在右图中，冷、暖和热是映射温度范围的函数。在这个刻度上的一个点有三个"真值" — 每个函数一个。对于展示的特定的温度，这三个真值可以被解释为把温度描述为，"相当冷", "有些暖" 和 "不热"。

通常情况会采用梯形，但在作模糊回归分析时则会选用三角形的归属函数。

模糊逻辑通常使用 IF/THEN 规则，或构造等价的东西比如模糊关联矩阵。

规则通常表达为如下形式:

IF 模糊变量 IS模糊集合THEN动作

例如，一个非常简单的使用风扇的温度调节器:

IF 温度 IS 非常冷 THEN 停止风扇

IF 温度 IS 冷 THEN 减速风扇

IF 温度 IS 正常 THEN 保持现有水平

IF 温度 IS 热 THEN 加速风扇

注意没有 "ELSE"。所有规则都被求值，因为温度在不同程度上可以同时是"冷"和"正常"。

在模糊逻辑中存在着布尔逻辑的 AND、OR 和 NOT运算符，它们通常定义为最小、最大和求补；在以这种方式定义它们的时候，它们叫做Zadeh 运算符，因为它们是在 Zadeh 最初论文中首次定义的。对于模糊变量 x 和 y:

NOT x = (1 - truth(x))x AND y = minimum(truth(x), truth(y))x OR y = maximum(truth(x), truth(y))还可以应用叫做hedges的更贴近自然语言其他的运算符。一般性的副词如"非常"或"有点"能使用数学公式修改集合的内涵。

编程语言在应用中，编程语言 ProLog 由于有架设被演绎逻辑问讯的"规则"的数据库设施而很适合实现模糊逻辑。这种编程叫做逻辑编程。

研究对象欲弄清模糊逻辑的研究对象首先必须得清楚逻辑的研究对象，因为模糊逻辑只不过是在经典逻辑的基础之上发展起来的一门分支学科。只要搞清楚了逻辑的研究对象，那么模糊逻辑的研究对象也就容易理解了。那么到底什么是逻辑的研究对象呢?对这个问题有着各式各样的回答。“

关于逻辑的对象，从大的方面说，可以分为以下几种观点：

(1)逻辑是研究思维的；

(2)逻辑是研究客观世界的；

(3)逻辑是研究语言的；

(4)逻辑是研究推理形式的有效性的。”

这是国内著名的逻辑学学者陈波所作出的归纳。在书中陈波对以上四种观点进行了一一的剖析，指出了各种观点的优劣所在。最后他提出了自己的看法，他认为逻辑的研究对象是推理形式的有效性。这一观点在张清宇主编的《逻辑哲学九章》中李小五撰写的第一章《什么是逻辑》也得到了认可。通俗地说就是：逻辑研究的对象就是推理的正确性。更严格(更带学术性)地说就是：逻辑研究的对象就是推理形式的有效性。

逻辑研究的对象就是推理形式的有效性这一观点得到了大多数学者和专家的认可，我本人对这一观点也无异议。弄清楚了逻辑的研究对象进而就可以进入我所要谈论的问题了，模糊逻辑的研究对象又是什么呢?在这里，我想从如下几个方面来加以讨论：

(1)模糊逻辑的产生背景。人类对自然界的认识大致可以划分为两类，一类是精确的现象，它可以用精确的语言来加以描述。例如，2+2=4；贵阳市是贵州省的省会；茅台酒是中国的国酒，等等。可以看出这一类现象它们都具有精确的定义和性质。但是，在现实世界中还有一类难以被精确的描述和定义的现象。例如，花溪是个风景优美的地方(究竟何为风景优美呢?)：他的父亲是个高个子(多高为高个子呢?)；张老师是个中年人(中年人被定义为多少岁呢?)，等等。诸如此类的现象数不胜数，与“精确现象”相对应我们称之为“模糊现象”。为了用严谨的科学手段去研究模糊现象、分析模糊性质，模糊数学应运而生。而模糊逻辑就是在模糊数学的基础之上派生出来的分支学科之一。

(2)模糊逻辑的研究对象。前面已经提及逻辑的研究对象是推理形式的有效性，而具体到模糊逻辑来说，它的研究对象就是模糊推理的有效性。那么什么又是模糊推理呢?模糊推理和精确推理它们之间有什么区别和联系呢?下面将对这些问题作出讨论。

首先，我们来看看什么是模糊推理，与精确推理一样，模糊推理也由概念、判断这些基本的逻辑元素组成，但是模糊推理有自己独特的推理方式。模糊推理所推出的结论并不具有绝对的真假，它的结论只能用隶属度来刻画，例如前例中的张老师是个中年人，这是一个很典型的模糊判断句，在这里我们就不能用传统逻辑中的绝对的真假来刻画中年人这一概念了，比如40岁是中年人为真，难道41岁是中年人就被看做是假的吗?因为在二值逻辑中只有真和假这两种结论。对于二值逻辑中这一无能为力的问题在模糊逻辑中却能轻易的解决，我们用查德表示法来描述这一事例，查德表示法是通过分式的和来表示模糊集合中的所有元素及其隶属度，其中分母代表元素，分子代表隶属度。上例我们可以表示为(A)=(0.5/张老师)，意思是说张老师是中年人从程度上来说只有0.5。这里就抛开了绝对的真假。但对于模糊的现象也做出了精确的刻画，之所以要对模糊现象精确化主要是为了模糊推理能够在机器上实现。

其次，对有效性进行讨论。陈波对推理的有效性进行了比较精辟的归纳，并提出了五点要求，他认为一个推理是否有效最好能够同时满足以下五个条件：(1)保真性。(2)内容相关性。(3)独立性。(4)题材中立性或普遍适用性。(5)简单性。虽然陈波提出了这样一个框架，但是对于任何一种逻辑推理要同时满足如上五个标准几乎是不可能的。这里我只针对模糊逻辑的有效性发表自己的一些浅显看法。在模糊逻辑中通常用到的推理有模糊假言推理和模糊条件推理，其中，模糊假言推理又最具有代表性。模糊假言推理之定义是：已知模糊命题A(大前提)包含模糊命题B。如存在与A不完全相同的模糊命题A1(小前提)，则能推出相应的结论.我们把这个推理过程称为模糊假言推理。例如：

(1)若吃的东西营养丰富，则人的身体会好；那么若吃的东西营养比较丰富，则人的身体会怎样?

(2)若中国在清朝晚期很强大，则不会被帝国主义国家欺负；那么若中国在清朝晚期不是很强大，则会不会被帝国主义国家欺负?

由于模糊假言推理的大小前提都是模糊的，所以其结论也是模糊的。这与传统逻辑所要求的精确性是完全不同的，那么应该如何对模糊推理进行精确的描述以使之能够为机器所识别呢?我们可以从人的经验和模糊数学两个方面来加以讨论。1

创立和研究模糊逻辑的意义（1）运用模糊逻辑变量、模糊逻辑函数和似然推理等新思想、新理论，为寻找解决模糊性问题的突破口奠定了理论基础，从逻辑思想上为研究模糊性对象指明了方向。

（2）模糊逻辑在原有的布尔代数、二值逻辑等数学和逻辑工具难以描述和处理的自动控制过程、疑难病症的诊断、大系统的研究等方面，都具有独到之处。

（3）在方法论上，为人类从精确性到模糊性、从确定性到不确定性的研究提供了正确的研究方法。

此外，在数学基础研究方面，模糊逻辑有助于解决某些悖论。对辩证逻辑的研究也会产生深远的影响。当然，模糊逻辑理论本身还有待进一步系统化、完整化、规范化。

其他例子如果一个人的高度是 1.8 米，把他考虑为高:

IF male IS true AND height >= 1.8 THEN is_tall IS true

IF male IS true AND height >= 1.8 THEN is_short IS false

但上述的定义却是不现实的。因此，在模糊规则下，在高和矮之间不做明显的区分:

IF height >= medium male THEN is_short IS agree somehow

IF height >= medium male THEN is_tall IS agree somehow

在模糊的情况下，没有像 1,83 米这样的高度，只有模糊值，比如下列赋值:

dwarf male = [0, 1.3]

msmall male = (1.3, 1.5]

medium male = (1.5, 1.8]

tall male = (1.8, 2.0]

giant male > 2.0 m对于结论，也不只是两个值，而是五个:

agree not = 0

agree little = 1

agree somehow = 2

agree alot = 3

agree fully = 4

在二值或"脆弱"的情况下，高度为 1.79 米的一个人可能被认为是矮。如果另一个人的高度是 1.8 米或 2.25 米，这些人才被当作是高。

这个脆弱的例子故意的区别于模糊的例子。我们在前提中不能放置

IF male >= agree somehow AND ...因为性别经常被认为是二值信息。所以不象身高这么复杂。