[科普中国]-鲁棒优化

概述

数学规划的经典范例是在输入数据准确知道并且等于某些标称值的假设条件下建立模型，并利用已有的数学规划求解方法得到最优解。 这种方法没有考虑数据不确定性的影响。因此， 当数据的取值不同于标称值时， 一些约束可能不满足，原来得到的最优解可能不再最优甚至变得不可行。因此, 需要找到一种优化方法使得优化解免受数据不确定性的影响，这种方法就是鲁棒优化方法。

鲁棒优化是研究不确定优化问题的一种新建模方法，它源自鲁棒控制理论，是随机优化和灵敏度分析的补充替换，其目的是寻求一个对于不确定输入的所有实现都能有良好性能的解。该方法与随机优化的不同之处在于，它没有假设不确定参数的分布，也即是每个可能值都同等重要,当它面向最坏情况时，代表一个最保守的结果。在过去几十年中,鲁棒优化方法在自然科学、工程技术、经济管理等各个领域得到了广泛的应用和发展，深受国内外学者的关注。

原理鲁棒优化与其它不确定优化方法的最大区别在于：

①鲁棒优化强调的是所谓的硬约束，寻求一个对于不确定输入的所有实现都能有良好性能的解，即不确定优化问题的解对于任何一个可能参数的实现都必须是可行的，而其它不确定优化问题并没有这个要求。

②鲁棒优化的建模思想与其它优化方法不同，它是以最坏情况下的优化为基础，这代表了一个保守的观点。得到的优化方案并不是最优的，但是，当参数在给定的集合内发生变化时，仍能确保优化方案是可行的，使模型具有一定的鲁棒性,即优化方案对参数扰动不敏感。

③鲁棒优化对于不确定参数没有分布假定，只是给出不确定参数集，不确定参数集合内的所有值都同等重要1。

主要方法鲁棒线性规划；

鲁棒二次规划；

鲁棒半定规划。

适用范围鲁棒优化是解决内部结构和外部环境不确定环境下的一种新的优化方法。鲁棒优化解决内部结构变动问题时,主要是约束条件参数的不确定性或目标函数参数的不确定性解决外部环境变化时，主要是外界不确定性扰动。鲁棒优化己经从最初的线性优化鲁棒方法，发展到鲁棒优化理论的经典体系。与其它不确定优化问题的处理方法不同的是,鲁棒优化更加适用于如下情况：

①不确定优化问题的参数需要估计,但是有估计风险；

②优化模型中不确定参数的任何实现都要满足约束函数；

③目标函数或者优化解对于优化模型的参数扰动非常敏感；

④决策者不能承担小概率事件发生后所带来的巨大风险。

专家学者结合各行业存在的实际问题，利用鲁棒优化进行不确定模型研究时会采用不同的解决方式，然而研究流程大致相同2。

存在问题鲁棒优化作为研究不确定优化问题的新方法受到了越来越多学者的关注，采用事先分析的策略，在优化模型建立的过程中就考虑了参数的不确定性，其优化解的鲁棒性突破了过去优化模型不确定参数过多依赖先验知识以及服从概率分布的假定。尽管鲁棒优化还未形成统一的理论体系，但正是这种百花齐放的研究思路给该领域的研究注入了活力，同时也表明该领域的研究还有许多函待解决的问题：

①在不确定集的确定上,如何与参数不确定性产生的来源和敏感级别结合起来,选择集合的形状和大小；

②完善并丰富初始不确定优化问题转化为鲁棒对等式的理论体系,使鲁棒对等式为计算可处理的；

③对优化模型参数在其不确定集以外取值的情况加以分析,找到控制优化性能恶化的途径和方法；

④推广鲁棒优化的应用范围，使该理论不仅可以在经济管理问题中得以应用，而且还可以拓展到实际的优化调度问题中。