[科普中国]-合情推理

简介

推理由两种：论证推理和合情推理。论证推理又称为演绎推理，它是思维进程中从一般到特殊的推理。这种推理以形式逻辑或论证逻辑为依据，有三段论、关系推理、选言推理和模态推理等推理模式。合情推理一词来自于Plausible reasoning，又译为似真推理。这是一种合乎情理的、好像为真的推理。1

所谓合情推理，就是一种比较自然的、合乎情理的，似乎为真的推理，它是根据已有的数学事实和正确的数学结论，或以个人数学经验（数学实验或实践）和数学直观进行推测而得到某些结果的一种推理，常表现为凭直观和联想、直观或直觉等非逻辑思维形式，通过观察、实验、归纳、类比，特殊和一般等方法直接获得某种数学结论。思维的非常规性（如跳跃性）、结论的或然性是其特色。2

合情推理是波利亚的“启发法”(heuristic，即"有助于发现的")中的一个推理模式。波利亚多年深入研究数学问题解决过程(problem solving一般被误译为"解题"，这里把它译为"问题解决")得出的理论成果。波利亚对启发法解释道：“现代启发法力求了解问题解决过程，特别是问题解决过程中典型有用的智力活动.……在这种研究中，我们不应忽视任何一类问题，并且应当找出处理各类问题所共有的特征来；我们的目的应当是找出一般特征而与主题无关。”可见波利亚的启发法讲的是问题解决在数学方法论上的共同点。启发法源于他对问题解决的研究，问题解决就是"在没有现成的解题方法时寻找一条解题途径，就是从困难中找到出路，就是寻求一条绕过障碍的道路，由适当的方法达到所要去的而不能立即达到的目的。"这说明波利亚早在50年前就已经把问题和问题解决的主要特征搞清楚了。

主要特征通过对问题解决过程特别是对已有的成功实践的深入研究，波利亚发现，可以机械地用来解决一切问题的"万能方法"是不存在的；在问题解决过程中，人们总是针对具体情况，不断地向自己提出有启发性的问句，提示，以启动与推进思维的小船。因此，他试图总结出一般的方法或模式，这些方法和模式在以后的问题解决活动中可起到启发和指导的作用。波利亚曾著书给出这样一些启发性的模式或方法：分解与组合，笛卡尔模式，递归模式，叠加模式，特殊化方法，一般化方法，"从后往前推"，设立次目标，合情推理的模式（归纳和类比），画图法，"看着未知数"，回到定义去，考虑相关的问题，对问题进行变形等等。特别引人注意的是，波利亚把问题和建议按照问题解决过程的4个阶段组成了他的"怎样解题表"。这4个阶段依次是：弄清问题，制定计划，实施计划和回顾，这就是著名的波利亚问题解决四阶段模式。波利亚建议："只要应用得当，如果你向自己提出表中的这些问题与建议，它们就可以帮助你解决你的问题；而如果你向你的学生提出同样的问题与建议，你就可以帮助解决他们的问题。"

方法模式在上述启发法框架中提到的合情推理的模式（归纳和类比）还须予以解释，它是指观察、归纳、类比、实验、联想、猜测、矫正与调控等方法。波利亚很早就注意到"数学有两个侧面，……用欧几里得方式提出来的数学是一门系统的演绎科学；但在创造过程中的数学却是实验性的归纳科学。"因此，他明确提出有两种推理：论证推理可用来确定数学知识，合情推理可用来为猜想提供依据，即波利亚给我们指出数学思维不是纯"形式"的，它所涉及的不仅有公理、定理、定义及严格的证明，而且还有许许多多其它方面：推广、归纳、类推以及从具体情况中辨认出或者说抽取出某个数学概念等等，数学教师应使学生了解这些十分重要的"非形式"思维过程。在日常生活中，合情推理几乎无处不在，比如："它可能是……"(猜测)"，做出来看一看"(实验)"，由上所述可得……"(归纳)"，将人心比自心"(类比)"，可以想象"(联想)"，实践是检验真理的唯一标准"(检测)等。3

归纳推理若A，则 ， ， ，……

， ，……为真

n越大（不真，不像是真的）

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A越可靠（A不真，A极不可靠）

该模型的直观意义是：若A蕴含，蕴含，……。，，……是更容易证实的，当，，……逐个被证实之后，n越大，A的可靠性也越大。4

换句话说，当P(/A)=1，P(A∧∧∧……∧)≠0（n≥1）时，有：

P(A)≤P(A/∧∧……∧))≤P(A/∧∧……∧)。

拓广推理若A，则B

B真（A不真条件下B不太真，B意外地被证实）

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A可能真（A很可能真，A非常可靠）

直观意义：若A蕴含B，且P(B)>0，则P(A)≤P(A/B)。4

类比推理若A类似于B

且A具有性质P

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则B具有性质P'

关系映射便是一种类比推理，如数学中的拉氏变换等。4

逆向推理若A与B不相容

B不可靠

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A较可靠

即，若A与B是不相容的，B的否定性增加了A的可靠性。4

肯定推理若A则B

B

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则A

否定推理若A则B

非A

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则非B

举例在社会生活中，医生诊断疾病、法官审判案件、军事家指挥战争、人际交往等都应用合情推理。贯彻任何科学发现的思维，也主要是合情推理；量子力学方程是猜出来的；球体公式是阿基米德"称"出来的；在对热在金属中流动的观察研究中，傅立叶发明了级数；而现代仿生学则是类比推理在科技中应用的杰出成果。由上可以看出，"我们所学到的关于世界的任何新的东西都包含着推理，它是我们日常事务中所关心的仅有的一种推理"。合情推理是各学科之间，社会生活中的文化大使，是现代化社会公民的必备文化素质。3

意义因此加强合情推理的教育将有助于发挥学科的两个功能，并学会发现和发明的方法。科学思维具有两重性：一类是进行论证推理的逻辑思维；另一类则是形象思维。形象思维最直接的层面是合情推理，逻辑思维是在"抓到真理"后进行完善和"补行证明"的思维，而合情推理则是"发现真理"的思维。因此，波利亚呼吁："让我们教猜想吧！"我国的理科教学，历来较多强调逻辑推理，而对合情推理有所忽视。再联想到有关团体对中外学生调查结果显示的中国学生科学测验成绩较差的信息，不能不使我们感到加强对合情推理能力的培养已是刻不容缓。因此，"既教证明，又教猜想"，给合情推理能力的教学以适当的地位，是开发学生创造性素质的需要，是全面提高学生优秀文化素质的需要，是全面开发大脑潜力的需要。我们在教学实践中认识到加强合情推理的教学，还可以使受教育者将日常事务中积累的经验，方法用于学习，提高学习的兴趣，提高解决问题的能力。而在其中，又将那自然状态下的合情推理，提高到一个更加合理更加科学的层次，以至成为"科学发现的金钥匙"。为保证加强合情推理教育的观念得到落实，并为教师提供一个可操作的教学样式，我们构建了合情推理教学模式。若在教学中能正确地使用合情推理的教学模式，至少不会削弱学科教学的技术功能，而文化教育功能将得到明显的加强，学生有效地应用合情推理的技能得到提高，创造能力得到加强，教学质量也将有一定的提高，同时将有一批科研型的教师脱颖而出。3

乔治·波利亚人物简介乔治 波利亚（1887-1985），是美籍匈牙利数学家，数学教育家。在数学教育方面他有3部世界名著：《怎样解题》，《数学与猜想》，《数学的发现———对解题的理解，研究和讲授》。这3本书在我国有5个译本，其中《怎样解题》发行量已过百万册；著名数学家瓦尔登曾高度评价这本书："每个大学生，每个学者，特别是每个教师都应该读这本引人入胜的书"。波利亚也谦虚地评价自己说："在问题解决方面以及讲授各种水平的数学方面，作者可以提供一些经验"。可见波利亚的数学教育思想对世界和我国数学教育的影响非常深远。

著作〔美〕乔治.波利亚.怎样解题〔M〕.阎育苏译.北京:科学出版社,1982.

〔美〕乔治.波利亚.数学与猜想(第一卷)〔M〕.李心灿译.北京:科学出版社,1984.

〔美〕乔治.波利亚.数学与猜想(第二卷)〔M〕.李心灿译.北京:科学出版社,1984.

〔美〕乔治.波利亚.数学的发现(第一卷)〔M〕.欧阳绛译.北京:科学出版社,1985.

〔美〕乔治.波利亚.数学的发现(第二卷)〔M〕.刘景麟译.呼和浩特:内蒙古人民出版社,1981.