[科普中国]-模糊关系

普通关系

设X，Y是两个非空集合，X×Y的一个子集R称为x到Y的一个普通关系。

当(x，y)∈R时，称X，Y有关系R；当(x，y)不属于R时，称(x，y)没有关系R。

医学上有表示人的体重和身高关系的公式： 体重(x公斤)=身高(y厘米)-100。按此公式可定义一个关系R={(x，y)|x∈X，y∈Y且x=y-100}是X×Y的一个子集。普通关系既然是普通集合，当然可以用特征函数加以描述，按上述例子，若x∈X，y∈Y，(x，y)∈R，则有 ，否则 。

普通关系只能描述二元素要么有关，要么无关系。二者必居其一．且仅其一。但客观事物之间除了绝对的有关系或无关系之外，还可能存在着“有些关系” ， “关系密切“”等模糊概念， 上例中体重和身长的关系除了绝对发育正常(满足公式)和不正常外，还可能有 发育得比较正常” 等。要表达这样的关系就必须引入模糊关系。

模糊关系给定论域U和V，直积U×V={(u,v)|u∈u，v∈V}的一个模糊子集R称为U到V的模糊关系。

当然模糊关系R由其隶属函数μR完全确定对任意( ， )∈U×V，μR ( ， )表示( ， )具有关系R的程度。

模糊关系R是X×Y中的模糊子集。若用μR(u，v)表示其隶属函数，则μR(u，v)反映了u与v有关系R的程度。当U与V均为有限集合时，比如U={u1, u2, …, um}，V={ v1, v2, …, vn}，则UxV中的模糊关系R可用m×n阶矩阵表示。

模糊矩阵模糊矩阵（fuzzy matrix）用来表示模糊关系的矩阵，如果 集合X有m个元素，集合Y有n个元素，由集合X到集合Y中的模糊关系，可用矩阵表示。

性质自反性，即μR (x，x)=1

对称性，即μR (x，y)=μR (y，x)

传递性

模糊关系方程设已知U到V的模糊关系R，U到W的模糊关系S，求解V到W的未知模糊关系X，使得满足关系式R · X=S 。此式称为“模糊关系方程”，而满足模糊关系方程的模糊关系称为“模糊关系方程的解”。

模糊相似关系和模糊等价关系若X×X上的模糊关系垾满足自反性与对称性，则称为X的一个模糊相似关系，又称模糊相容关系。表示x与y对于模糊关系垾的相似程度。当X为有限集时,模糊相似关系可用一个主对角线元素为1的对称模糊矩阵来表示。若X×X上的模糊关系满足自反性、对称性和传递性，则称为X的一个模糊等价关系。模糊相似关系和模糊等价关系是模糊聚类分析和模糊综合评判的基本数学工具。