【2022年度“科普中国青年之星创作大赛”】π的记忆

【摘要】本文以历史为脉络，以人物为主体，通过东西方两个视角，来介绍圆周率的发展历程。一提到圆周率，大家第一时间想到的一定是祖冲之。然而历史上有许多科学家都圆周率的计算做出了贡献

圆是一种几何图形，是一个看来简单，实际上是十分奇妙的形状。

古代埃及人就认为：圆，是神赐给人的神圣图形。中国古代也将圆赋予了团圆的美好寓意。

区别于矩形和三角形，圆是闭合的弧线，它的周长和面积难以用尺量取。好在古人早早就发现了圆的周长与直径的比值是一个固定值，所以只要找到这个比值就可以通过直径来计算周长，这个比值就是圆周率，因此“圆周率=圆周长/圆直径”，其中“直径”是直的，容易测量，难以计算精确的是“圆周长”。

现如今我们都已知圆周率是一个无限不循环小数了，然而就是这个看似寻常的数字，它的准确数值在历史长河中却一直“犹抱琵琶半遮面”，这个小数的推算过程历尽了岁月沧桑，令一代又一代的学者为之倾注心血，千锤百炼，方才成就了我们后人对于圆的精确计算。可以说，它小数点后每一位数字的背后，都有一段科学佳话。

接下来我们不妨从东西方两个角度去了解圆周率的发展历程。两条脉络同时并行，通过对比，我们来看到底东方西方谁会更胜一筹。

早在公元前300多年的战国时期，也就是大约2300多年前，当时墨家的著作《墨经》中已经给出了圆的明确定义。

当时的古人就发现了圆的周长与直径的比值大概是3左右的数字，也就是所谓的“周三径一”。

而此时西方的古希腊有阿基米德，他开创了人类历史上通过理论计算圆周率近似值的先河。阿基米德从单位圆出发，先用内接正六边形求出圆周率的下界为3，再用外接正六边形并借助勾股定理求出圆周率的上界小于4。接着，他对内接正六边形和外接正六边形的边数分别加倍，将它们分别变成内接正12边形和外接正12边形，再借助勾股定理改进圆周率的下界和上界。他逐步对内接正多边形和外接正多边形的边数加倍，直到内接正96边形和外接正96边形为止。最后，他求出圆周率的下界和上界分别为223/71和22/7，并取它们的平均值3.141851为圆周率的近似值。不难发现，阿基米德所采取的是迭代算法和两侧数值逼近的策略。

在这一时期，西方胜出。阿基米德已将圆周率正确数值计算到小数点后第3位。

下面我们看500多年后的三国时期，数学家刘徽走进了历史舞台。

这位刘徽，他是魏晋时期的数学家，他所处的时代思辨之风大为盛行，可见当时的东方人已经具有较强的逻辑思维了。刘徽此人思维缜密，他是中国最早明确主张用逻辑推理发方式来论证数学命题的人。聪明的刘徽发现，“周三径一”的说法其实并不准确。我们现在都知道π=3.1415926......计算时往往取3.14近似值，如果计算一个半径为2的圆的面积，根据公式πR·R可知，π=3时，面积为12；而π=3.14时，面积为12.56，误差还是比较大的。

刘徽在当时就意识到这个问题，他作为一名数学家，毕生的志向就是在学术上有所突破，因此他下定决心要计算出更精确的圆周率。前人之所以认为“周三径一”，主要是因为无法对圆周率进行准确的推算。而刘徽的切入点便是要寻求一种合适的研究方法，让无法量化计算的圆周率可以进行推算。

刘徽思维敏捷、方法灵活，他偶然间发现，可以用正多边形来替代圆进行计算，圆的弧线难以度量，而正多边形的边长是直线，量起来便不是问题。刘徽的这一步操作，巧妙运用了数学中的一种科学思想，叫做转化。把无法掌控的事物转化为简单的事物。

同时，刘徽还想到，正多边形的边数越多，也就越接近于圆，在计算周长、面积时则更精确。比如说，当计算圆内接正6边形时，每条边对应的弧长的圆心角为60度，那么弧长与正6边形边长的差值较大，当为正12边型时，弧长的圆心角为30度，为正24边型是，圆心角为15度，那么如此递推，不断扩大正多边形的边数，最后使圆心角趋近于0度，那么该圆内接正多边形的边长就接近于该圆的这段弧长，正多边形的周长就无限接近于圆的周长了。这也是他的另一个思想，极限的思想。

刘徽用这种方法被命名为“割圆术”，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。”寥寥数语，指出了这种科学方法的精髓。刘徽运用割圆术最后算到了圆内接正3072边形，并由此而求得了圆周率 为3.1415和 3.1416这两个近似数值。这个结果是当时世界上最精确的圆周率，请记住，当时是将近公元300年，彼时，我们东方已经找到了推算圆周率数值的有效方法，而西方却仍然止步不前。这一时期，我们东方更胜一筹。

时间又过了100多年，在南北朝时期，又一位天才数学家祖冲之登场。他充分肯定了刘徽割圆术的重要意义，并沿用此法继续割圆推算圆周率。公元480年左右，祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的结果，给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927，还得到两个近似分数值，密率355/113和约率22/7，密率是个很好的分数近似值，要取到52163/16604才能得出比355/113略准确的近似。祖冲之对圆周率数值的精确推算值，对于中国乃至世界是一个重大贡献，后人将“这个精确推算值”用他的名字命名为“祖冲之圆周率”，简称“祖率”。在之后的800年里祖冲之计算出的π值都是最准确的。直到15世纪初阿拉伯数学家卡西求得圆周率17位精确小数值，才打破祖冲之保持近千年的纪录。15世纪在中国具体是哪个朝代呢？答案是明朝。由此可见，祖冲之以后，我们东方对于圆周率的计算水平就一直遥遥领先了！这也再一次证明了我们古老的中国在古代封建时期是多么的强盛！这无疑为现如今我们中华民族伟大复兴提供了莫大的鼓舞。

读到这里，我们简单总结一下。以往我们一提起圆周率，都会默认这是祖冲之的功劳。现在我们更加明确，祖冲之的贡献体现在他推算出的圆周率小数点后的位数最多，他得出的数值嘴准确，他的成果记录保持了很久。实际上，这个功劳有一半是属于刘徽的，是刘徽创造了割圆术，为祖冲之的计算提供了可行方法，实在是功不可没。从这个角度，我们看到了科学家之间的前赴后继、珠联璧合，更看到了科学家精神的薪火相传。

17世纪之后，西方经历文艺复兴、工业革命，开始逐渐崛起。西方科学自然也应时而起，在伽利略、牛顿两位巨人的带动下，西方的科学家多如耀眼的星辰。而此时东方已步入封建时期的尾声，科学水平也止步不前。

我们现在都知道圆周率是用希腊字母π来表示，π代表了圆周率。π显然是一种西方的命名方式，那么这个符号是谁人规定的呢？答案是欧拉。欧拉是瑞士著名数学家，他于1736年创设了π这个数学符号，主张用它来代表圆周率。也就是说，我们今天习以为常的π，已经是沿袭了近300年的规定。

在近代这一时期人们开始利用无穷级数或无穷连乘积求π，摆脱可割圆术的繁复计算。无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种π值表达式纷纷出现，使得π值计算精度迅速增加。到1948年英国的弗格森和美国的伦奇共同发表了π的808位小数值，成为人工计算圆周率值的最高纪录。

现如今，我们早已不再依赖人工计算这种简陋的方式了。电子计算机把我们带入现代社会，也使π值计算有了突飞猛进的发展。现在不论在东方西方，只要轻轻点击一下按钮，简单敲击几下键盘，所谓的天文数字便瞬间呈现在眼前。经吉尼斯世界纪录认证，截至目前，π的最准确值，超过小数点后62,831,853,071,796位。

小小一个π，小小的一串数字，却贯穿了人类整个发展历程。从无法推算到有法可依，从小数点后一位一位地突破，到后来的天文数字，由浅入深，由粗到精，今日之圆仍为过往之圆，今日之圆也全然不同于过往之圆。在这里，我们看到了科学家们的聪明才智、独具慧眼，更看到了他们的坚定执着、对于求真求索的矢志不渝。

铭记，是为了更好地前行。前人为我们留下的宝贵财富将持续激励着我们砥砺前行、踔厉奋发。