与兔子相关的三个数学问题

2023年1月21日，就是大年三十，也即老百姓常说的除夕。过了这一天，虎年辞去，兔年来临。兔年话兔，文坛习俗，我也免不了俗，就谈谈三个与兔子相关的数学问题吧。

第一个是“鸡兔同笼”问题。这是中国古代著名的数学趣题之一，载于大约公元四五世纪成书的《孙子算经》。书中写道：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”翻译成白话文就是：“有若干只鸡和兔关在同一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚。问笼子里有鸡和兔各几只？”《孙子算经》作者给出了“上置”“下置”两种解法，后人则找到了更多的有趣解法，如“假设法”“抬腿法”“砍腿法”“吹哨法”“列表法”“矩阵法”“鸡翅法”，等等。如“假设法”：假设兔和鸡都只有2条腿，则笼子里一共应该有35×2=70条腿，而兔子实际有4条腿，每只兔比鸡多出2条腿，由多出的94-70=24条腿可知，笼子里共有24/2=12只兔，因此鸡有35-12=23只。

当然，如果你是一位初中生，运用代数方程求解，问题那就再简单不过了。“鸡兔同笼”还可演进为变量不是整数或变量不止2个的几十种同类问题，解题虽复杂一些，但思路却大致相同。通过运用不同的方法解答不同的“鸡兔同笼”问题，无疑可提高青少年的逻辑推理、数理演算等方面的能力。

“龟兔赛跑”悖论示意图 苏靓 绘

第二个是“龟兔赛跑”问题。龟兔赛跑最早出自《伊索寓言》中的“乌龟与野兔”故事，该书相传为公元前六世纪古希腊被释放奴隶伊索编著，收录了以各类动物为主角的寓言故事357篇。这个故事可谓家喻户晓、中外皆知，它告诫人们谦虚勤勉将获成功，骄傲自大必定失败。后人将这个寓言演绎成了一个逻辑悖论：如果乌龟先爬出一段距离，然后再让兔子去追，那么，不管兔子跑多快，它永远也追不上乌龟。古希腊的哲学家提出过一个著名的悖论——芝诺的乌龟，也被称为“芝诺悖论”，只不过它把“龟兔赛跑”里的兔子换成了古希腊神话中善于跑步的神明阿基里斯。在芝诺的问题中，阿基里斯永远追不上一只正常爬行的乌龟。逻辑推理证明步骤如下：假设阿基里斯跑步的速度是每秒十米，乌龟爬行的速度是每秒一米，阿基里斯让乌龟先爬100米再出发追赶；当他跑完100米后，乌龟已往前爬了10米；阿基里斯再往前追赶10米后，乌龟又向前爬行了1米……如此循环下去，无论阿基里斯怎么追赶，他都无法追赶上乌龟，因为乌龟总会制造出在阿基里斯前面的无数个新起点。实际情况当然不是这样，我们由此可以发现形式逻辑存在的缺陷。

实际上，根据高等数学理论，在“龟兔赛跑”问题中，兔子与乌龟之间的起始间距是有限的，它们之间的距离无限缩小时，按照极限的定义，这个距离最终将等于零，因而兔、龟就会在某一时刻处在同一起跑点上，兔子和阿基里斯自然很快就能追上乌龟。

第三个是“兔子数列”问题。“兔子数列”又称斐波那契数列，它由13世纪意大利数学家斐波那契提出，这个数列因以兔子繁殖为例而引入，故又被称为“兔子数列”。斐波那契的问题是：通常，兔子出生两个月后就有繁殖能力，之后，一对雌雄兔子每个月就能生出一对小兔子来（假设也是一雌一雄）；如果所有的兔子都不死，那么一年以后，可以繁殖出多少对兔子？按照上述假设，一年也即12个月里，经繁殖后每月拥有的兔子数量（单位：对）分别是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144。据此，斐波那契数列的通项公式可以如下定义：F(1)=1；F(2)=1；F(3)=2；F(4)=3；……F(n)=F(n-1)+F(n-2)，（n≥3）。该数列有两个明显特点：一是从第三项开始，每一项的数字都等于前两项的数字之和；二是当数列的个数趋向于无穷大时，后一项与前一项数字比值的小数部分就越来越逼近 黄金分割比0.618。因此，斐波那契数列又被称作黄金分割数列。

该数列在自然界里多有体现，比如，树木新生的枝条往往需要“休息”一段时间才能萌发新枝，一株树木各个年份生长出来的枝桠数，便构成了斐波那契数列。在现代物理、结构化学等领域，斐波那契数列也有直接的应用。1963年，美国数学会创办了《斐波那契数列季刊》数学杂志，专门用于刊载这方面的研究成果。

没想到，小小的一只兔子，竟和数学有着这么深的渊源。兔年将至，我们可得好好学习数学啰！古希腊数学家毕达哥拉斯曾说过“万物皆数”，中国古代周公曾赞叹曰“大哉言数”，有感于斯，填《浪淘沙令》词一首，以表情怀：“辞旧握新年，思绪翩跹。舞文玉兔竞佳篇。锦上添花吸眼阅，选料当鲜。//算术悉心研，典故重编。逻辑数列理推连。极限方程欣解惑，学海无边。”

作者简介：

苏青，曾任《学位与研究生教育》编辑部编辑，北京理工大学校长办公室副主任、主任，中国科学技术出版社社长，继续教育学院暨现代远程教育学院副院长，科技导报社副社长、副主编，中国科协学会服务中心副主任等职。享受国务院政府特殊津贴，为新闻出版总署新闻出版行业领军人才。

注：本文刊载于2023年1月20日《科普时报》“青诗白话”栏目。关注如下微信公众号（携诗远行），可以阅读本人更多原创文章。

来源：携诗远行