一次数学比赛，诞生了数学上至关重要的概念

虚数的诞生和推广颇有戏剧性，而当时人们并不能接受这种数。

撰文 | 埃尔韦·莱宁

翻译 | 缪伶超

“当立方在某些物旁/等于某个普通的数/在它里面找两个不同的数……”读起来简直像丹·布朗的小说《达·芬奇密码》里的诗句。然而，这可是白纸黑字、有史可查的。它的作者尼科洛·丰塔纳（Niccolo Fontana），也被称为塔尔塔利亚（Niccolo Tartaglia，1499/1500-1557）生活在文艺复兴时期的威尼斯。他家境贫寒，全靠自学成才，依靠教授数学课和参加代数竞赛来维生！古怪精灵的他写下这首诗，引导有兴趣的人士探寻一个被当时智者争相破解的数学秘密。

因为塔尔塔利亚是一个文艺复兴时期的典型人物，有时候更乐于追寻快乐，而非醉心于学识的精进，那时的人总是对数学谜题充满了强烈的兴趣。不管是安东尼奥·菲奥尔（Antonio Maria del Fiore）还是吉罗拉莫·卡尔达诺（Girolamo Cardano），要不是他们的嬉戏最终扬帆起航，驶向全新的世界，来到一整片数学的未知之地，这些数学家的名字也早已被历史遗忘。

直到如今，只要一提到复数，仍能让一代代初中生哀嚎连连。想想看那些负数的平方根！只有疯子才会相信这是可能的。巧得很，这些谜题爱好者还真都有一股疯劲儿。

图片来源：oshima-gakushujuku.com

一个传统的继承人

复数诞生于代数方程，是那些以现代形式呈现的方程（见引文《x、＋和=的发明》）：诸如3x**^**²+5x+2=7，其中x为未知数。但是为什么叫它代数方程？“代数”一词并非因为使用了未知数，而是阿拉伯数学家花拉子米为解方程而使用的操作（“代数”的词源也可以追溯到阿拉伯语）：代数学家是会操纵方程两边的人，也可以指会操纵人的四肢的人：在西班牙，土法接骨医生仍然被如此称呼。

最简单的代数方程一次方程，如2x+1=x+5。代数学家将等号右边的x移到左边，得出x+1=5，然后将等号左边的1移到等号右边，得出结果x=4。而为了解二次方程x**^²+6x=7，代数学家发现x^²+6x是平方（x+3）^²的开头两项。于是在等号左右分别加上9，得到（x+3）^²=16=4^**²。以此类推。

古希腊和古阿拉伯的数学家已经知道如何解二次方程，即以x²+px=q这样的形式呈现的方程。他们也遇到了三次方程，但是这类方程的一般解法却要归功于他们的意大利继承——文艺复兴时期的代数学家。希皮奥内·德尔·费罗者（Scipione del Ferro，1465-1526）第一个解出一个常见三次方程，这种方程被称为无二次项方程，即x**^**³+px=q，其中p和q都是自然数。

在详细介绍费罗前，首先要说明所有代数学家，不管是不是意大利人，都拒绝方程有负数解。这种想法一直持续到19 世纪，拉扎尔·卡诺（Lazare Carnot，1753-1823）还写道：“为了真正得到一个单独的负数，就必须在零上切去一个量，或者从无里去掉一些东西，这是根本不可能办到的事。那么如何想象一个独立的负数呢？”但是迟疑最终让位，负的符号变得稀松平常。从此以后，它改变了数的意义，就好像形容词改变了一个词的意义。

x、+和=的发明

方程的现代标记法是从哪里来的？谁首先想到用x来指称未知数？谁发明了+、-、=等符号？第一个给未知数命名的是古希腊的丢番图，我们上文介绍费马大定理的时候就提到过他。不难想象，要命名一个未知数，即我们不知道的东西，对最早的数学家来说并不是什么理所当然的事。丢番图将它称为arithmos，即希腊语里的“数”【法语里的arithmétique（算术）就是由此而来】，并且写下了包含用各种字母书写的未知数和数字的问题。题目的已知条件和证明都是用相当累赘的句子来表达的……

丢番图的传统随后由中世纪的阿拉伯数学家继承，后者改变了用词。公元9世纪，花拉子米将未知数称为shay，意为“东西”。文艺复兴时期的意大利代数学家也使用了同一个词——意大利语里的cosa。当时深受阿拉伯影响的安达卢西亚人把这个词用拉丁字母写作xay。勒内·笛卡尔（René Descartes，1596-1650）完成了最终的简化动作，只保留了xay的首字母。于是，字母x就找到了在数学中的位置，后来又在法律界大展拳脚，并且保留了“被人们寻找的东西（或数字、人）”的意义。

与此同时，从弗朗索瓦·维埃特（François Viète，1540-1603）开始，标记法也逐渐适应了用字母——即用未知字母或甚至已知字母——表示的计算。人们渐渐习惯了最早的x、y、z等，以及接下来的a、b、c等。运算符号（+、-、×等），表示相等的符号（=），还有表示不等的符号（<，>），指数的写法（x**^²、x^**³等）也出现了。就这样，现代标记法在18世纪成形了。为了简便起见，在这章里，哪怕谈到阿拉伯和意大利代数学家更早的研究时，我们也会使用这些符号。

写在笔记本上的解法

为什么我们没有绝对的证据来证明费罗解开了普遍意义上的三次方程？因为他没有正式公布，而是将自己的发现写在了一本笔记本上，只有身边的亲友才有机会一睹为快。这种做法其实在当时很常见，代数挑战盛行于世，常常伴随着经济或职业上的奖励，因为比赛的奖励往往就是在大学任教的教职。但是那个时代有一种提前出现的Dolce Vita之风（意大利语里的“甜美的生活”，指一种放松随意的生活方式），奖赏也有可能是一场飨宴……

费罗把三次方程的解法告诉了一个有点多嘴的女婿，后者又传给了他的朋友安东尼奥·玛利亚·德尔·菲奥尔（Antonio Maria del Fiore）。菲奥尔对此保持缄默，一直等到费罗去世，在参加数学比赛时，使用了费罗的秘密武器，当时的比赛经常会出现由三次方程支配的题目。然而在一次挑战中，他与尼科洛·塔尔塔利亚对阵，就是我们上文提到的诗歌的作者。其实他真名叫丰塔纳，塔尔塔利亚是他的诨号，意为"结巴"，他在1512年法国军队围困布雷西亚时受了伤，导致口吃。塔尔塔利亚是一个比赛狂人，而与菲奥尔的狭路相逢马上就有了决战紫禁之巅的意味。

比 赛

两位数学家各自在公证人那里留下30道题目，要求对方在40天内给出解答。列出的题目全部都是以各种面目出现的三次方程。比如说向丰塔纳抛出的一个挑战是：“一个放高利贷的人出借一笔钱款，条件是到年底要还的利息是本金的立方根。到了年底，放高利贷的人收到了800杜卡托，包括本金和利息。那么本金是多少？”

如果我们把利息记作x杜卡托，本金是x的三次方，那么这道题目的条件就可以写作x**^3+x=800。既然这道题目是个现实问题，那么只要注意到103+10=1010>800，而9^**3+9=738<800，就能确定x在9到10杜卡托之间。再尝试几次，就能得出x=9.24727，那么本金就是790.75杜卡托。

当然，哪怕这个答案已经完全能说清楚放高利贷者及其顾客之间的往来生意，但是这并非这道题所期待的解。丰塔纳必须找到一个能用整数、四则运算和根号来表达的精确解。事实上，这个答案在商业交易中也没什么用处，已经进入了纯数学的范畴。下面请看用塔尔塔利亚的方法进行繁杂的计算后得到的解：

看上去很能吓唬人吧？费罗只会解一种方程，就是上文提到的那种，而塔尔塔利亚赢得了对战，却放弃了奖赏（他被邀请参加三十场筵席！）。

解法就在诗歌中

塔尔塔利亚一直没有公开他的解题方法，直到另一个人物吉罗拉莫·卡尔达诺（Girolamo Cardano，1501-1576）的出现。卡尔达诺是一个复杂的人物，他既是医生，又是数学家，还是天文学家，他发明了一个以自己名字命名的车辆传动系统。1539年，他邀请塔尔塔利亚到他位于米兰的家中做客，说服他将秘密透漏给自己，并承诺绝不外传。塔尔塔利亚就作了一首诗：

当立方在某些物旁

等于某个普通的数

在它里面找两个不同的数

然后你就习惯了

其乘积永远等于

某些物的立方的三分之一。

第一行似乎捉摸不透。然而，在阿拉伯数学家的传统里，“物”就是未知数（用现代标记法来说，就是x），“某些物”就是x的整数倍数（也就是px），而“物的立方”是未知数的三次方（x**^3）。第二行（“等于某个普通的数”）引入了一个数，即q，所以产生了方程x^**3+px=q。

接下来的诗阐述了方法……卡尔达诺后来在其著作《大术》（Ars magna）里公布了【卡尔达诺并不能算是剽窃者，因为他不仅证明了塔尔塔利亚的方法，而且他还探讨了所有三次方程的例子，并且补充了其弟子卢多维科·费拉里（Ludovico Ferrari）的四次方程的解法】。在卡尔达诺公布的方法里，有一种会在数学史上起到关键作用。多亏了一个比其他人更执着的数学家，这一方法引向一个理论上相当离奇的概念：虚数。

意大利人卡尔达诺（Girolamo Cardano）是文艺复兴时期通才型（polymath）学者，在数学、物理、天文、机械、化学、哲学等多个领域均有杰出贡献。图片来源：wiki

没有实数解法，然而……

生活在博洛尼亚的拉斐尔·邦贝利（Raphael Bombelli，1526-1572）读了卡尔达诺的著作，试图用他的方法来解方程x**^3=15x+4。正如塔尔塔利亚在诗中建议的那样（在它里面找两个不同的数），邦贝利首先写下x=u+v，随后根据塔尔塔利亚的建议，指定附加条件w=5（其乘积永远等于某些物的立方的三分之一），将方程简化为u^2+v^3=4。写下U=u^³和V=v^³之后，就得到一个丢番图之后的经典系统：两个数（U和V）的和与乘积是已知的（4和125）。他推断出，U和V是二次方程X^2-4X+125=0的解。该方程可以写作(X-2)^**2=-121。

邦贝利（Raphael Bombelli），16世纪杰出的数学家，对于复数的运用领先于他的时代。图片来源：MacTutor

实际上，全新的数字诞生了，虽然人们当时还无法理解它们意味着什么。它们给出能验算的正确结果，所以被纳入了数的大家庭。笛卡尔称其为“虚数”，为了将它与其他数区分开来，因为相比之下，其他数就变成了“真实的数”。就这样，一个概念从纯粹的代数运算中诞生了。

i上的点

邦贝利使用的的标记法在法国中学课本里已经不再使用，取而代之的是18世纪欧拉提议的i，i作为虚数（imaginaire）一词的首字母，堪当重任。“复数”这个名字来自高斯，他认为数学应扎根于物质现实中，所以并不喜欢当时使用的“虚数”一词。约翰·沃利斯（John Wallis，1616-1703）第一个将这些数用几何法表现成在平面上的点，由此赋予它们一种物质现实。使用了欧拉标记法后，复数就是以a+ib的形式出现的数，而a和b都是实数。

我们用复数集来指代复数整体，因为复数也可以进行四则运算，而四则运算在复数里也具有通常的特点，如结合律、交换律和分配律。此话怎讲？只需要在常用规则之外增加一条：i**^**²=-1。威廉·哈密顿（William Hamilton，1805-1865）想出了这个主意，并且将它普遍化，发明了能描述宇宙旋转的四元数。都柏林有一座布鲁姆桥（现称为金雀花桥）就是见证，因为哈密顿是在此桥上散步时灵光一现的，所以他激动之余，在桥上刻下了公式（至少他是这样讲的，因为现如今桥上只留下了一块铭牌以资纪念）。对于懂行的人来说，只要跨过这座桥就能进入一个……“虚”幻的世界。

代数基本定理

发明严格包括复数的复数域到底有没有用？数学家热衷于思考这类在普通人眼里毫无意义的问题。如果目的是解开方程，那么答案是否定的。为什么？很简单，因为我们可以证明复数域包含所有复系数方程的根。

我们将这一特点总结为，复数域是代数封闭的。更确切点说，所有实系数或复系数n次代数方程在复数域里都正好有n 个不同的或混合的解。这一结果被称为代数基本定理。由阿尔贝特·吉拉尔（Albert Girard，1595-1632）首先设想出来，随后由高斯证明。令人惊奇的是，虽然这是一个纯代数结果，但证明它却利用了解析法。

作者介绍

埃尔韦•莱宁（Hervé Lehning），法国数学研究者。1976毕业于里昂高等师范学院（ENS Lyon），获得数学学位。同时，他还是一家保险公司的计算机分析员。自1981年以来，他一直在巴黎百年老校詹森•德萨伊（Janson de Sailly）中学教数学，并在巴黎中央理工学院（Ecole Central de Paris）教计算机科学。他写了几本关于计算机在数学中的应用及其教学的书和文章。闲暇时候，他特别享受攀岩、登山和平静的家庭生活。他对密码学充满热情，是一位成功的普及者，著有《密码的世界：从古代到互联网》（2012），主编《数学史一千年》（2005）、《代数方程》（2005）、《变形：从几何到艺术》（2009）等作品。

本文经授权节选自《世间万数》（北京联合出版公司·低音，2022.10），原标题为《创造虚数的疯狂方程》略有改动，图片为编辑所加。

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