科学百科知识第6期丨什么是虚数？

本期为大家带来：

《你知道吗——现代科学中的100个问题》

本书是阿西莫夫的优秀作品之一。
作者以通俗的语言，深入浅出地解释了现代科学中的一百个尖端课题。
其中，有些是了解现代科学技术所必须具备的基础知识，如科学的研究方法、二进制数、相对论、亚原子粒子、核聚变、熵、晶体、病毒等。有些则是当代科学技术的前沿阵地，如黑洞、统一场论、夸克、快子、金属氢等。
作者对这些问题的来龙去脉，它们目前处在什么样的状态、有没有希望得到解决等问题均作了回答。

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第六个问题： 什么是虚数 ？

大多数人最为熟悉的数有两种，即正数（＋５，＋１７．５）和负数（－５，－１７．５）。负数是在中世纪出现的，它用来处理３－５这类问题。从古代人看来，要从三个苹果中减去五个苹果似乎是不可能的。但是，中世纪的商人却已经清楚地认识到欠款的概念。“请你给我五个苹果，可是我只有三个苹果的钱，这样我还欠你两个苹果的钱。”

这就等于说：（＋３）－（＋５）＝（－２）。正数及负数可以根据某些严格的规则彼此相乘。正数乘正数，其乘积为正。正数乘负数，其乘积为负。最重要的是，负数乘负数，其乘积为正。因此，（＋１）×（＋１）＝（＋１）；（＋１）×（－１）＝（－１）；（－１）×（－１）＝（＋１）。现在假定我们自问：什么数自乘将会得出＋１？或者用数学语言来说，＋１的平方根是多少？这一问题有两个答案。

一个答案是＋１，因为（＋１）×（＋１）＝（＋１）；另一个答案则是－１，因为（－１）×（－１）＝（＋１）。数学家是用√￣（＋１）＝±１来表示这一答案的。（注：（＋１）在根号下）现在让我们进一步提出这样一个问题：－１的平方根是多少？对于这个问题，我们感到有点为难。答案不是＋１，因为＋１的自乘是＋１；答案也不是－１，因为－１的自乘同样是＋１。当然，（＋１）×（－１）＝（－１），但这是两个不同的数的相乘，而不是一个数的自乘。这样，我们可以创造出一个数，并给它一个专门的符号，譬如说＃１，而且给它以如下的定义：＃１是自乘时会得出－１的数，即（＃１）×（＃１）＝（－１）。

当这种想法刚提出来时，数学家都把这种数称为“虚数”，这只是因为这种数在他们所习惯的数系中并不存在。实际上，这种数一点也不比普通的“实数”更为虚幻。这种所谓“虚数”具有一些严格限定的属性，而且和一般实数一样，也很容易处理。但是，正因为数学家感到这种数多少有点虚幻，所以给这种数一个专门的符号“ｉ”(imaginary)。我们可以把正虚数写为（＋ｉ），把负虚数写为（－ｉ），而把＋１看作是一个正实数，把（－１）看作是一个负实数。因此我们可以说√￣（－１）＝±ｉ。实数系统可以完全和虚数系统对应。

正如有＋５，－１７．３２，＋３／１０等实数一样，我们也可以有＋５ｉ，－１７．３２ｉ，＋３ｉ／１０等虚数。我们甚至还可以在作图时把虚数系统画出来。假如你用一条以０点作为中点的直线来表示一个正实数系统，那么，位于０点某一侧的是正实数，位于０点另一侧的就是负实数。这样，当你通过０点再作一条与该直线直角相交的直线时，你便可以沿第二条直线把虚数系统表示出来。第二条直线上０点的一侧的数是正虚数，０点另一侧的数是负虚数。这样一来，同时使用这两种数系，就可以在这个平面上把所有的数都表示出来。例如（＋２）＋（＋３ｉ）或（＋３）＋（－２ｉ）。

这些数就是“复数”。

数学家和物理学家发现，把一个平面上的所有各点同数字系统彼此联系起来是非常有用的。
如果没有所谓虚数，他们就无法做到这一点了。